2013年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若函数f（x）=3^x的反函数为f^-1（x），则f^-1（1）=    ．

2. 难度：中等

若复数z= （i为虚数单位），则|z|=    ．

3. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点到准线的距离是    ．

4. 难度：中等

若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是    ．

5. 难度：中等

若直线l：y-2x-1=0，则该直线l的倾斜角是    ．

6. 难度：中等

若（x+a）⁷的二项展开式中，x⁵的系数为7，则实数a=    ．

7. 难度：中等

若圆椎的母线l=10cm，母线与旋转轴的夹角α=30°，则该圆椎的侧面积为    cm²．

8. 难度：中等

设数列{a_n}（n∈N^*）是等差数列．若a₂和a₂₀₁₂是方程4x²-8x+3=0的两根，则数列{a_n]的前2013 项的和S₂₀₁₃=    ．

9. 难度：中等

下列函数：①f（x）=3^|x|，②f（x）=x³，③f（x）=ln，④f（x）=cos，⑤f（x）=-x²+1中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减函数为    （写出符合要求的所有函数的序号）．

10. 难度：中等

将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c，则函数f（x）=x²+2bx+c图象与x轴无公共点的概率是    ．

11. 难度：中等

若函数f（x）=+1 （a＞0，a≠1）的图象过定点P，点Q在曲线x²-y-2=0上运动，则线段PQ中点M轨迹方程是    ．

12. 难度：中等

如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．则矩形BNPM面积的最大值为    平方米．

13. 难度：中等

在△ABC中，若∠A=，tan（A+B）=7，AC=3，则△ABC的面积为    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆x²+y²=n²相切，其中m，n∈N，0＜|m-n|≤1，若函数f（x）=m^x+1-n的零点x∈（k，k+1）k∈Z，则k=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“a=3”是“函数f（x）=x²-2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

若无穷等比数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为1，公比为a-，且，（n∈N^*），则复数z=在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

17. 难度：中等

已知F₁、F₂为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠F₁PF₂=60°，则P到x轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf（a_n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：
①，
②f（x）=x²，
③f（x）=e^x，
④，
则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．②③④

三、解答题

19. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．

20. 难度：中等

已知 f（x）=sin2x-2sin²x，
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若x∈[-，]，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值．

21. 难度：中等

椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．
（1）求椭圆T的方程；
（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且k_i≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：为定值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（x＞0）的值域为集合A，
（1）若全集U=R，求C_UA；
（2）对任意x∈（0，]，不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的范围；
（3）设P是函数f（x）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，求•的值．

23. 难度：中等

对于实数a，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a_n}满足如下条件：a₁=|a，a_n+1=其中n=1，2，3，…
（1）若a=，求数列{a_n}；
（2）当a时，对任意的n∈N^*，都有a_n=a，求符合要求的实数a构成的集合A．
（3）若a是有理数，设a= （p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a_n=0成立，并证明你的结论．