2012-2013学年广东省珠海一中等六校高三第三次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=A∪B，定义：A-B={x|x∈A，且x∉B}，集合A，B分别用圆表示，则下列图中阴影部分表示A-B的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

如果复数z=（a²-3a+2）+（a-1）i为纯虚数，则实数a的值（ ）
A．等于1或2
B．等于1
C．等于2
D．不存在

3. 难度：中等

已知||=2，是单位向量，且夹角为60°，则等于（ ）
A．1
B．
C．3
D．

4. 难度：中等

在同一个坐标系中画出函数y=a^x，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁+a₉+a₁₁=30，那么S₁₃值的是（ ）
A．65
B．70
C．130
D．260

6. 难度：中等

若a＞0，b＞0且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．a²+b²≥8

7. 难度：中等

下面给出四个命题：
①若平面α∥平面β，AB，CD是夹在α，β间的线段，若AB∥CD，则AB=CD；
②a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c一定是异面直线；
③过空间任一点，可以做两条直线和已知平面α垂直；
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；
其中正确的命题是（ ）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①④

8. 难度：中等

已知数列{a_n}为公比是3的等比数列，前n项和S_n=3ⁿ+k，则实数k为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

9. 难度：中等

对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（ ）

A．0
B．
C．
D．9

10. 难度：中等

设定义在R上的函数，若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（-∞，-1）
C．（1，+∞）
D．（-∞，-2）∪（-2，-1）

二、填空题

11. 难度：中等

已知直线x=2及x=4与函数y=log₂x图象的交点分别为A，B，则AB直线方程为    ．

12. 难度：中等

点A（3，1）和B（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

有一个各棱长均为1的正四棱锥，先用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，可以折叠，那么包装纸的最小面积为    ．

14. 难度：中等

如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D=46°，则∠A=    ．

15. 难度：中等

已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C₂的极坐标方程为，曲线C₁、C₂相交于点A、B．则弦AB的长等于    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，定义f（x）=
（1）求函数f（x）的表达式，并求其单调增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

为调查某次考试数学的成绩，随机抽取某中学甲、乙两班各十名同学，获得成绩数据的茎叶图如图（单位：分）．
（1）求甲班十名学生成绩的中位数和乙班十名学生成绩的平均数；
（2）若定义成绩大于等于120分为“优秀成绩”，现从甲班，乙两班样本数据的“优秀成绩”中分别抽取一人，求被抽取的甲班学生成绩高于乙班的概率．

18. 难度：中等

一个多面体的三视图和直观图如下：
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求证：MN⊥AH；
（3）求多面体A-CDEF的体积．

19. 难度：中等

已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁，A₂，点M是椭圆上异于A_l，A₂的任意一点，设直线MA₁，MA₂的斜率分别为，证明为定值．

20. 难度：中等

已知成等差数列．又数列a_n（a_n＞0）中a₁=3此数列的前n项的和S_n（n∈N₊）对所有大于1的正整数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列a_n的第n+1项；
（2）若是的等比中项，且T_n为{b_n}的前n项和，求T_n．

21. 难度：中等

定义函数
（1）求f₃（x）的极值点；
（1）求证：f_n（x）≥nx；
（2）是否存在区间[a，0]（a＜0），使函数h（x）=f₃（x）-f₂（x）在区间[a，0]上的值域为[k-a，0]？若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由．