2013年安徽省芜湖十二中高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（ ）
A．2
B．-2
C．
D．

2. 难度：中等

设s_n为等比数列{a_n}的前n项和，8a₂+a₅=0，则=（ ）
A．-11
B．-8
C．5
D．11

3. 难度：中等

已知直线m，n及平面α，β，则下列选项正确的是（ ）
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若m∥α，m∥n，则n∥α
C．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
D．若m⊥α，m∥β，则α⊥β

4. 难度：中等

若，则￢q是￢p的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

双曲线和椭圆的离心率互为倒数，那么，以a，b，m为边长的三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角或钝角三角形

6. 难度：中等

设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，-4）且⊥，∥，则|+|=（ ）
A．
B．
C．
D．10

7. 难度：中等

把函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度，所得的曲线的一部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是（ ）

A．1，
B．1，-
C．2，
D．2，-

8. 难度：中等

函数y=a^x+3-2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在直线mx+ny+1=0上（m＞0，n＞0），则的最小值为（ ）
A．12
B．10
C．8
D．14

9. 难度：中等

某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ）
A．144种
B．150种
C．196种
D．256种

10. 难度：中等

若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则（ ）
A．3f（1）＞f（3）
B．3f（1）＜f（3）
C．3f（1）=f（3）
D．f（1）=f（3）

二、填空题

11. 难度：中等

计算=    ．

12. 难度：中等

的展开式中的常数项为    ．

13. 难度：中等

已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为    ．

14. 难度：中等

若圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的斜率的取值区间为    ．

15. 难度：中等

给出下列五个命题：其中正确的命题有    （填序号）．
①函数y=sinx（x∈[-π，π]）的图象与x轴围成的图形的面积；
②；
③在（a+b）ⁿ的展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和；
④i+i²+i³+…i²⁰¹²=0；
⑤用数学归纳法证明不等式的过程中，由假设n=k成立推到n=k+1成立时，只需证明即可．

三、解答题

16. 难度：中等

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（写出必要的解答过程）
（1）两个女生必须相邻而站；
（2）4名男生互不相邻；
（3）若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；
（4）老师不站中间，女生不站两端．

17. 难度：中等

已知的展开式中，前三项的二项式系数之和为37．
（1）求x的整数次幂的项；
（2）分别求出展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

18. 难度：中等

18、在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）设E为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角E-BD-P的大小为45°．

19. 难度：中等

已知椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程．
（2）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，若∠AOB是直角，其中O是坐标原点，求直线l的方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-ln（x+1）
（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）证明：．

21. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试判断n≥4时与S_n+1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．