2013年甘肃省嘉峪关一中高考数学三模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果复数（m²+i）（1+mi）是实数，则实数m=（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

2. 难度：中等

已知向量，若垂直，则m的值为（ ）
A．1
B．-1
C．-
D．

3. 难度：中等

如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为（ ）

A．i＜10
B．i≤10
C．i≤9
D．i＜9

4. 难度：中等

若，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）

A．AB∥m
B．AC⊥m
C．AB∥β
D．AC⊥β

6. 难度：中等

设x，y满足则z=x+y（ ）
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值

7. 难度：中等

（文科做）函数①y=2（x-1）²-1，②y=x²-3|x|+4，③y=，④y=中即非奇函数也非偶函数的是（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①③
D．①

8. 难度：中等

由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

下列各组命题中，满足“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非p’为真”的是（ ）
A．p：0=φ；q：0∈φ
B．p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数
C．p：；q：不等式|x|＞x的解集是（-∞，0）
D．p：圆（x-1）²+（y-2）²=1的面积被直线x=1平分；q：椭圆的一条准线方程是x=4

11. 难度：中等

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≥0，则必有（ ）
A．f（0）+f（2）＜2f（1）
B．f（0）+f（2）≤2f（1）
C．f（0）+f（2）≥2f（1）
D．f（0）+f（2）＞2f（1）

12. 难度：中等

已知二次函数y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，当n依次取1，2，3，4，…，k时，其图象在x轴上截得的线段长度的总和为（ ）
A．1
B．
C．
D．

13. 难度：中等

设P为曲线C：y=x²+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（ ）
A．
B．[-1，0]
C．[0，1]
D．

二、填空题

14. 难度：中等

圆x²+y²=8内有一点P （-1，2），当弦AB被P平分时，直线AB的方程为    ．

15. 难度：中等

若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是    ．

16. 难度：中等

观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有     个小正方形，第n个图中有     个小正方形

17. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，，．
（1）求角A的大小；
（2）若，求b的长．

19. 难度：中等

如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中点．正三棱柱的正（主）视图如图（2）
（I）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（II）证明：A₁B∥面ADC₁；
（Ⅲ）（文科做）图（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）
（Ⅲ）（理科做）求二面角A₁-DC₁-A的正弦值．

20. 难度：中等

某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．
（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．

21. 难度：中等

如图，已知F₁，F₂分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆C的离心率e=，F₁也是抛物线C₁：y2=-4x的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F₂的直线l交椭圆C于D，E两点，且2=，点E关于x轴的对称点为G，求直线GD的方程．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2alnx．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

23. 难度：中等

请考生在第23，24，25题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
选修4-1  几何证明选讲
已知C点在⊙O的直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，CD是∠ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．
（Ⅰ）求∠ADF的度数；
（Ⅱ）若AB=AC，求的值．

24. 难度：中等

选修4-4  坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为：，
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设（x，y）是曲线C上任意一点，求的最大、最小值．

25. 难度：中等

设对于任意实数x，不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x-3|-2x≤2m-12．

26. 难度：中等

（理科做）一个口袋内装有大小相同的4个红球和6个白球．
（I）从中任摸2个球，求摸出的2个球颜色不同的概率；
（II）从中任摸4个球，求摸出的4个球中红球数不少于白球数的概率；
（Ⅲ）每次从中任摸4个球，放回后再摸4个球，如此反复三次，求三次中恰好有一次4个球都是白球的概率．