2013年山东省淄博市高考数学模拟试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，复数，则|z|=（ ）
A．1
B．2
C．
D．

2. 难度：中等

设A，B是非空集合，定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，己知集合A={x|0＜x＜2}，B={y|y≥0}，则A⊗B等于（ ）
A．{0}∪（2，+∞）
B．[0，1）∪[2，+∞）
C．（0，1）∪（2，+∞）
D．{0}∪[2，+∞）

3. 难度：中等

下列选项中，说法正确的是（ ）
A．命题“∃x∈R，-x≤0”的否定是“∃x∈R，x²-x＞0”
B．命题“p∀q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件
C．命题“若am²≤bm²，则a≤b”是假命题
D．命题“若sinx=siny，则x=y”的逆否命题为真命题

4. 难度：中等

等边三角形ABC的边长为1，如果，，，那么等于（ ）
A．-
B．
C．-
D．

5. 难度：中等

已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ²），且P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（ ）
A．0.1358
B．0.1359
C．0.2716
D．0.2718

6. 难度：中等

设S是△ABC的面积，A、B、C的对边分别为a、b、c，且2SsinA＜sinB，则（ ）
A．△ABC是钝角三角形
B．△ABC是锐角三角形
C．△ABC可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形
D．无法判断

7. 难度：中等

如图，直线l和圆C，当l从l开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

平面区域D由以点A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部及边界组成，若在D上有无穷多个点（x，y）使目标函数z=x+my取得最大值，则m=（ ）
A．4
B．-2
C．-或
D．-2或4

9. 难度：中等

设A₁、A₂为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A₁、A₂的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=1+x-+-+…+，g（x）=1-x+-+-…-，设函数F（x）=f（x+3）•g（x-4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z内，则b-a的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

11. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足：对于任意α，β∈R，总有f（α+β）-[f（α）+f（β）]=2012，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）-1是奇函数
B．f（x）+1是奇函数
C．f（x）-2012是奇函数
D．f（x）+2012是奇函数

12. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为O，且满足，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA=6，则此三棱锥体积最大值是（ ）
A．12
B．36
C．48
D．24

二、填空题

13. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是    ．

14. 难度：中等

下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是    ．

15. 难度：中等

已知（2x+x^lgx）⁸的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，则x的值为    ．

16. 难度：中等

为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分为n（n≥3，n∈N）等份种植红、黄、蓝三色不同的花．要求相邻两部分种植不同颜色的花．如图①，圆环分成的3等份分别为a₁，a₂，a₃，有6种不同的种植方法．

（1）如图②，圆环分成的4等份分别为 a₁，a₂，a₃，a₄，有    种不同的种植方法；
（2）如图③，圆环分成的n（n≥3，n∈N）等份分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，有    种不同的种植方法．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=b+c=2，求实数a的最小值．

18. 难度：中等

在平面x0y内，不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U，不等式组确定的平面区域为V．
（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”．在区域U任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（Ⅱ）在区域U每次任取1个点，连续取3次，得到3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=3，当n≥2时，a_n-1+a_n=4n；对于任意的正整数n，．设{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足13＜S_n＜14的n的集合．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，AB=AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且．
（Ⅰ）当λ=1时，证明DF⊥平面PAC；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使异面直线EF与CD所成的角为60°？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

如图，已知抛物线C：y²=4x，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ．
（Ⅰ）若AP⊥AQ，证明直线PQ过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅱ）假设直线PQ过点T（5，-2），请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的个数？如果不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数P的取值范围；
（Ⅱ）当n∈N^*时，试判断与2ln（n+1）的大小关系，并证明你的结论；
（Ⅲ） 当n≥2且n∈N^*时，证明：．