2008-2009学年云南省昆明市高三质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={1，2，3}，B=P{x|0＜x＜4}，则a∈A是a∈B的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

若（a-i）²•i³为纯虚数，则实数a等于（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

3. 难度：中等

已知数列{a_n}是等比数列，且a₂=2，a₅=16，则数列{a_n}的前6项和为（ ）
A．54
B．63
C．99
D．127

4. 难度：中等

若不经过第一象限的直线x+my+3=0与圆x²+y²+2x=0相切，则m等于（ ）
A．
B．-
C．
D．-

5. 难度：中等

若函数f（x）=ax•cosx在点O（0，0）处的切线与直线x-2y+3=0平行，则a=（ ）
A．
B．
C．-2
D．2

6. 难度：中等

为了得到函数y=2sin的图象，只要把函数y=sinx图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，再将纵坐标伸长到原来的2倍
B．横坐标伸长到原来的2倍，再将纵坐标缩短到原来的倍
C．横坐标缩短到原来的倍，再将纵坐标伸长到原来的倍
D．横坐标缩短到原来的倍，再将纵坐标伸长到原来的2倍

7. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长等于2，侧棱长等于，M是B₁C₁的中点，则直线AB₁与直线CM所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=-x+1，则不等式x•f（x）＞0在x∈（-3，1）上的解集为（ ）
A．（-1，1）
B．（0，1）
C．（-3，-1）∪（0，1）
D．（-1，0）∪（0，1）

9. 难度：中等

在△ABC中，AB=2BC，∠ABC=120°，则以A、B为焦点且过点C的椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．-1
D．

10. 难度：中等

如图，平面内向量，的夹角为120°，，的夹角为30°，且||=2，||=1，||=2，若=λ+2，则λ等于（ ）

A．1
B．-1
C．2
D．-2

11. 难度：中等

设随机变量ξ服从正态分布N（2，σ²），若P（ξ＞c）=a，则（ξ＞4-c）等于（ ）
A．a
B．1-a
C．2a
D．1-2a

12. 难度：中等

某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．56种
B．68种
C．74种
D．92种

二、填空题

13. 难度：中等

双曲线x²-=1的两条渐近线的夹角等于    ．

14. 难度：中等

展开式中的常数项为    ．

15. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AP=2，D为AB中点，E为BC中点，则点D到直线PE的距离等于    ．

16. 难度：中等

某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙两个项目最大盈利率分别为75%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投入的资金额不超过10万元，如果要求确保可能的投入资金的亏损不超过1.8万元，则投资人可能产生的最大盈利为    万元．

三、解答题

17. 难度：中等

设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB+bcosA=2ctanC
（I）求tan（A+B）的值；
（II）若cosA=，求tanB的值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-2ax²-3x，x∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知球O的半径为1，P、A、B、C四点都在球面上，PA⊥面ABC，AB=AC，∠BAC=90°．
（I）证明：BA⊥面PAC；
（II）若AP=，求二面角O-AC-B的大小．

20. 难度：中等

某射手向一个气球射击，假定各次射击是相互独立的，且每次射击击破气球的概率均为．
（I）若该射手共射击三次，求第三次射击才将球击破的概率；
（II）给出两种积分方案：
方案甲：提供三次射击机会和一张700点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分128ξ点．
方案乙：提供四次射击机会和一张1000点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分256ξ点．
在执行上述两种方案时规定：若将球击破，则射击停止；若未击破，则继续射击直至用完规定的射击次数．
问：该射手应选择哪种方案才能使积分卡剩余点数最多，并说明理由．

21. 难度：中等

已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点．设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，=λ，其中λ＞0
（I）若λ=1，求直线l的斜率；
（II）若点A、B在x轴上的射影分别为A₁、B₁，且||，||，2||成等差数列，求λ的值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x-，x∈[0，+∞），数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n=1，2，3…）
（I）设f′（x）=，求g（x）在[0，+∞）上的最小值；
（II）证明：0＜a_n+1＜a_n≤1；
（III）记T_n=++…+，证明：T_n＜1．