2012-2013学年湖南省永州市蓝山二中等三校高三第四次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|x≥0}，且A∪B=B，则集合B可能是（ ）
A．{1，2}
B．{x|x≤1}
C．{-1，0，1}
D．R

2. 难度：中等

“m＜1”是“函数f（x）=x²+2x+m有零点”的（ ）
A．充要条件
B．必要非充分条件
C．充分非必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知向量，，满足（+2）（-）=-6，且||=1，||=2，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．

6. 难度：中等

二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．3π
C．
D．6π

8. 难度：中等

在△ABC中，若•+²=0，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形

9. 难度：中等

设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1-x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）
B．函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（1）
C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（-2）
D．函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（2）

二、填空题

10. 难度：中等

已知圆C的圆心是直线（t为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为    ．

11. 难度：中等

已知一种材料的最佳加入量在10g到110g之间，若用0.618法安排实验，则第二次试点的加入量可以是     g．

12. 难度：中等

设a是实数，且是实数，则a等于    ．

13. 难度：中等

阅读程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S=    ；T=    ．

14. 难度：中等

已知，则x²+y²的取值范围是    ．

15. 难度：中等

过点（4，0）的直线与抛物线y²=4x交于两点，则两点纵坐标的平方和最小值为    ．

16. 难度：中等

对于实数x∈[0，π]，定义符号[x]表示不超过x的最大整数，则方程的解集是    ；又方程[2sinx]=[x]的解集是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx，（ω＞0，a＞0，b＞0）周期为，f（x）最大值为2
（1）写出f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在区间上的单增区间．

18. 难度：中等

某高校2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160，165），第2组[165，170），第3组[170，175），第4组[175，180），第5组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求第3、4、5组的频率并估计这次考试成绩的众数；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求：第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率？

19. 难度：中等

如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为的中点．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC=2DE，平面ACDE⊥平面ABC．求证：
（1）平面ABE⊥平面ACDE；
（2）平面OFD∥平面BAE．

20. 难度：中等

2012年中秋、国庆长假期间，由于国家实行6座及以下小型车辆高速公路免费政策，导致在长假期间高速公路出现拥堵现象．长假过后，据有关数据显示，某高速收费路口从上午6点到中午12点，车辆通过该收费站的用时y（分钟）与车辆到达该收费站的时刻t之间的函数关系式可近似地用以下函数给出：
y=
求从上午6点到中午12点，通过该收费站用时最多的时刻．

21. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB弦为直径的圆过坐标原点O，试探讨点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=和图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（1）求实数b，c的值；
（2）求函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值；
（3）若函数y=f（x）图象上存在两点P，Q，使得对任意给定的正实数a都满足△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，求点P的横坐标的取值范围．