2012年黑龙江省哈尔滨三中等四校高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数，则复平面内表示z的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

集合，Q={y∈R|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（ ）
A．P
B．Q
C．{-1，1}
D．{0，1}

3. 难度：中等

在二项式的展开式中，含x⁴的项的系数是（ ）
A．-10
B．10
C．-5
D．5

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．3
B．
C．
D．

5. 难度：中等

某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）

A．k＞4？
B．k＞5？
C．k＞6？
D．k＞7？

6. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₂+a₁₈=4π，则cos（a₂+a₁₂）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．设，，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b

9. 难度：中等

函数f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x-m在上有零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．
C．
D．

10. 难度：中等

数列{a_n}满足，则a₁a₂a₃…a₁₀=（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知点P的双曲线（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若S_△IPF1=S_△IPF2+λS_△IF1F₂成立，则λ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若直角坐标平面内P、Q两点满足条件：①点P、Q都在函数f（x）的图象上；②点P、Q关于原点对称，则称（P、Q）是函数f（x）的一个“和谐点对”（点对（P、Q）与（Q、P）可看做同一个“和谐点对”）．已知函数，则f（x）的“和谐点对”有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

13. 难度：中等

若随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6826，则P（X＞4）=    ．

14. 难度：中等

正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则侧棱与底面所成的角为    ．

15. 难度：中等

连续掷一枚均匀的正方体骰子（6个面分别标有1，2，3，4，5，6，），现定义数列，S_n是其前n项和，则S₅=3的概率是    ．

16. 难度：中等

已知△ABC，∠C=60°，AC=2，BC=1，点M是△ABC内部或边界上一动点，N是边BC的中点，则的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数的一系列对应值如下表：

x
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根据表格提供的数据求y=f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，b=3c，求sinC．

18. 难度：中等

为了学生的全面发展，某中学在高一学年是推行“合理作业”（合理作业是指：放学后学生每天完成作业的时间不超过两小时）活动．高一学年共有学生2000人，其中男生1200人，女生800人，为了调查2012年3月（按30天计算）学生“合理作业”的天数情况，通过分层抽样的方法抽取了40人作为样本，统计他们在该月30天内“合理作业”的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，（5，10]，（10，15]，…，（25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）求抽取的40人中男生、女生的人数；
（2）在抽取的40人中任取3人，设ξ为取出的三人中“合理作业”天数超过25天的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在BC上，且CF=2FB．
（1）求证：FG∥平面PAB；
（2）当FG⊥平面AEC时，求二面角P-CD-A的正切值．

20. 难度：中等

过抛物线x²=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P（x，y），．
（1）求y；
（2）求证：直线AB恒过定点；
（3）设（2）中直线AB恒过定点F，是否存在实数λ，使恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数
（1）当时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是△ABC外接圆，过⊙O上一点H作⊙O的切线，BC与这条切线平行，AC、AB的延长线交这条切线于点E、F，连接AH、CH．
（Ⅰ）求证：AH平分∠EAF；
（Ⅱ）若CH=4，∠CAB=60°，求圆弧的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．