《不等式》2013年高三数学一轮复习单元训练（北京邮电大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若实数a、b满足a+b=2则2^a+2^b的最小值是（ ）
A．8
B．4
C．2
D．2

2. 难度：中等

若a＜b＜0，下列不等式成立的是（ ）
A．a²＜b²
B．a²＜ab
C．
D．

3. 难度：中等

设a、b满足0＜a＜b＜1，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a^a＜a^b
B．b^a＜b^b
C．a^a＜b^a
D．b^b＜a^b

4. 难度：中等

已知a＜0，-1＜b＜0，那么a，ab，ab²之间的大小关系是（ ）
A．a＜ab＜ab²
B．a＜ab²＜ab
C．ab²＜ab＜a
D．ab²＜a＜ab

5. 难度：中等

若a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α=a+，β=b+，则α+β的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

6. 难度：中等

下列关系式中，正确的是（ ）
A．a＞b⇒a-c＜b-c
B．a＞b⇒a²＞b²
C．a＞b⇒ac²＞bc²
D．

7. 难度：中等

不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．（1，+∞）
C．（-1，+∞）
D．（-∞，-1）

8. 难度：中等

函数y=的定义域为（ ）
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x≤0}
D．{x|0≤x≤1}

9. 难度：中等

当x＞1时，不等式x+恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，2]
B．[2，+∞）
C．[3，+∞）
D．（-∞，3]

10. 难度：中等

当a＜0时，不等式42x²+ax-a²＜0的解集为（ ）
A．{x|＜x＜-}
B．{x|-＜x＜
C．{x|＜x＜-}
D．空集

11. 难度：中等

若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（ ）
A．1+
B．1+
C．3
D．4

12. 难度：中等

设x，y满足约束条件 ，若x²+4y²≥a恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．1

二、填空题

13. 难度：中等

已知x²+bx+c＜0的解集是{x|1＜x＜3}，则b+c等于    ．

14. 难度：中等

已知，则z=2x+4y的最大值为    ．

15. 难度：中等

已知点A（m，n）在直线x+2y-2=0上，则2^m+4ⁿ的最小值为    ．

16. 难度：中等

下列几个命题：
①不等式的解集为{x|x＜-2，或x＞2}；
②已知a，b均为正数，且，则a+b的最小值为9；
③已知m²+n²=4，x²+y²=9，则mx+ny的最大值为；
④已知x，y均为正数，且x+3y-2=0，则3^x+27^y+1的最小值为7；
其中正确的有    ．（以序号作答）

三、解答题

17. 难度：中等

设命题P：关于x的不等式（a＞0且a≠1）的解集为{x|-a＜x＜2a}；命题Q：y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围．

18. 难度：中等

设a、b、c均为实数，求证：++≥++．

19. 难度：中等

若集合A={y|y²-（a²+a+1）y+a（a²+1）＞0}，B={y|y=x²-x+，0≤x≤3}
（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；
（2）当a取使不等式x²+1≥ax恒成立的最小值时，求（C_RA）∩B．

20. 难度：中等

围建一个面积为360m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：米）．
（1）将修建围墙的总费用y表示成x的函数；
（2）当x为何值时，修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．

21. 难度：中等

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

22. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲a，b，c∈R⁺，求证：．