2012年黑龙江省哈尔滨三中高考数学四模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位=（ ）
A．1+i
B．-1+i
C．1-i
D．-1-i

2. 难度：中等

从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则抽取的女生和男生的人数分别为（ ）
A．4；2
B．2；4
C．5；1
D．3；3

3. 难度：中等

若集合，集合N={y|y=x^-2}，那么M∩N=（ ）
A．（1，+∞）
B．[1，+∞）
C．（0，+∞）
D．[0，+∞）

4. 难度：中等

在△ABC中，A，B，C分别是△ABC的三个内角，下列选项中不是“A＞B”成立的充要条件的是（ ）
A．sinA＞sinB
B．cosA＜cosB
C．tanA＞tanB
D．sin²A＞sin²B

5. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=-11，a₄+a₆=-6，则当S_n取最小值时，n等于（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

6. 难度：中等

函数f（x）=1+x-sinx，x∈（0，2π），则函数f（x）（ ）
A．在（0，2π）内是增函数
B．在（0，2π）内是减函数
C．在（0，π）内是增函数，在（π，2π）内是减函数
D．在（0，π）内是减函数，在（π，2π）内是增函数

7. 难度：中等

△ABC的顶点在平面α内，A、C在α的同一侧，AB、BC与α所成的角分别是30°和45°．若AB=3，BC=，AC=5，则AC与α所成的角为（ ）
A．60°
B．45°
C．30°
D．15°

8. 难度：中等

已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k²成立，则f（k+1）≥（k+1）²成立，下列命题成立的是（ ）
A．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k²成立；
B．若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）＜k²成立；
C．若f（7）≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f（k）＜k²成立；
D．若f（4）=25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k²成立

9. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为（ ）
A．4
B．11
C．12
D．14

10. 难度：中等

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，若双曲线上存在一点P，满足|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，3]
B．（1，3）
C．（3，+∞）
D．[3，+∞）

11. 难度：中等

若直线通过点M（cosα，sinα），则（ ）
A．a²+b²≤1
B．a²+b²≥1
C．
D．

12. 难度：中等

设函数f（x）的定义域是[-4，4]，其图象如图，那么不等式的解集为（ ）

A．[-2，1]
B．[-4，-2]∪[1，4]
C．[-4，-π）∪[-2，0）∪[1，π）
D．[-4，-π）∪（1，π）

二、填空题

13. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积为   

14. 难度：中等

已知{a_n}前n项和，则|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|的值为    ．

15. 难度：中等

已知直线y=mx+3m和曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是    ．

16. 难度：中等

△ABC中，，D为BC中点，AD=2，则BD=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，．
（I）设x=x是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x）的值；
（II）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

18. 难度：中等

已知关于x的方程x²+bx+c=0
（Ⅰ）若b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x²+bx+c=0有实根的概率；
（Ⅱ）若b∈[-1，1]，c∈[-1，1]，方程x²+bx+c=0的两个实根为x₁、x₂，求x₁∈（-1，0）且x₂∈（0，1）的概率．

19. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，，D是AC中点
（Ⅰ）求三棱锥B₁-BDC₁的体积；
（Ⅱ） 证明：AB₁⊥BC₁．

20. 难度：中等

已知A，B是抛物线y²=-7x上的两点，且OA⊥OB
（Ⅰ）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）求△AOB的面积的最小值．

21. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求a的范围．

22. 难度：中等

如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．
（Ⅰ）求证：点F是BD中点；
（Ⅱ）求证：CG是圆O的切线．

23. 难度：中等

直线l：（t为参数），曲线C：
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．