《函数的通性》2013年山东省淄博市高三数学复习（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=sinx是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数

2. 难度：中等

函数f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函数，若x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），且x₁＜x₂那么（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）＞f（x₂）
C．f（x₁）=f（x₂）
D．无法确定

3. 难度：中等

已知f（x）=x⁵+ax³+bx-8，且f（-2）=10，那么f（2）等于（ ）
A．-26
B．-18
C．-10
D．10

4. 难度：中等

若函数在（-∞，0）上有最小值-5，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+∞）上
（ ）
A．有最大值5
B．有最小值5
C．有最大值3
D．有最大值9

5. 难度：中等

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x，则在R上f（x）的表达式是（ ）
A．-x（x-2）
B．x（|x|-2）
C．|x|（x-2）
D．|x|（|x|-2）

6. 难度：中等

f（x）=是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数

7. 难度：中等

若函数y=f（x）（f（x）不恒为0）与y=-f（x）的图象关于原点对称，则f（x）为（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数，又是偶函数

8. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=-f（x），且在区间[-1，0]上为递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知f（x）在实数集上是减函数，若a+b≤0，则下列正确的是（ ）
A．f（a）+f（b）≤-[f（a）+f（b）]
B．f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）
C．f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）
D．f（a）+f（b）≥-[f（a）+f（b）]

10. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上以3为周期的奇函数，若f（1）＞1，f（2）=，则 a的取值范围是（ ）
A．a＜
B．a＜且a≠-1
C．a＞或a＜-1
D．-1＜a＜

11. 难度：中等

已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）＞0的解集是（a²，b），g（x）＞0的解集是（，），＞a²，那么f（x）•g（x）＞0的解集是（ ）
A．（，）
B．（-b，-a²）
C．（a²，）∪（-，-a²）
D．（，b）∪（-b²，-a²）

12. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足，且函数为奇函数，给出下列命题：①函数f（x）的最小正周期是；②函数y=f（x）的图象关于点对称；③函数y=f（x）的图象关于y轴对称．其中真命题的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

二、填空题

13. 难度：中等

已知函数f（x）=-x²+ax-3在区间（-∞，-2]上是增函数，则a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

函数y=-x²+|x|，单调递减区间为     ，最大值为     ．

15. 难度：中等

已知f（x）=是奇函数，那么实数a的值等于    ．

16. 难度：中等

张老师给出一个函数y=f（x），四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：
甲：对于x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）；
乙：在（-∞，0]上是减函数；
丙：在（0，+∞）上是增函数；
丁：f（0）不是函数的最小值．
现已知其中恰有三个说的正确，则这个函数可能是     （只需写出一个这样的函数即可）

三、解答题

17. 难度：中等

已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且满足f（x）+g（x）=，求f（x），g（x）．

18. 难度：中等

已知定义在区间（-1，1）上的偶函数f（x），在（0，1）上为增函数，f（a-2）-f（4-a²）＜0，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数y=f （x）（x∈R，x≠0）对任意的非零实数x₁，x₂，恒有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），试判断f（x）的奇偶性．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，求a、b、c的值．

21. 难度：中等

已知函数f（x²-3）=log_a（a＞0，a≠1）．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性．
（2）解不等式：f（x）≥log_a（2x）．

22. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期为2，且x∈（0，1）时，．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（3）当λ为何值时，方程f（x）=λ在x∈[-1，1]上有实数解．