2012-2013学年陕西省西安市华清中学高三（下）自主命题数学试卷2（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2，4，6}，B={2，3，5}，则韦恩图中阴影部分表示的集合（ ）

A．{2}
B．{3，5}
C．{1，4，6}
D．{3，5，7，8}

2. 难度：中等

设函数f（x）=x²-x-2，x∈[-5，5]．若从区间[-5，5]内随机选取一个实数x，则所选取的实数x满足f（x）≤0的概率为（ ）
A．0.5
B．0.4
C．0.3
D．0.2

3. 难度：中等

下列推理是归纳推理的是（ ）
A．A，B为定点，动点P满足||PA|-|PB||=2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a₁=2，a_n=3n-1求出S₁，S₂，S₃，猜想出数列{a_n}的前n项和S_n的表达式
C．由圆x²+y²=r²的面积S=πr²，猜想出椭圆的面积S=πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇

4. 难度：中等

命题“∃x∈R，使x²+ax-4a＜0为假命题”是“-16≤a≤0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
B．若m⊥l，l⊂α，则m⊥α
C．若m∥l，l∥α，则m∥α
D．若l⊥m，m⊥α，则l∥α

6. 难度：中等

设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a

7. 难度：中等

已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的解析式是（ ）
A．
B．y=2sin2
C．
D．y=2sin4

8. 难度：中等

已知P是边长为4的正△ABC边BC上的动点，则•（+）（ ）
A．最大值为8
B．最小值为12
C．是大值24
D．与P的位置有关

9. 难度：中等

实数x，y满足不等式组，且z=ax+y（a＞0）取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．1
C．2
D．无法确定

10. 难度：中等

设实数a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c=0，若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两实数根，则|x₁²-x₂²|的取值范围为（ ）
A．（0，1）
B．[0，1）
C．
D．[0，3）

二、填空题

11. 难度：中等

设i为虚数单位，则1-i+i²-i³+i⁴-…+i²⁰=    ．

12. 难度：中等

若函数f（x）=alog₂x+blog₃x+2，且，则f（2012）的值为    ．

13. 难度：中等

某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是    ．

14. 难度：中等

斜率为2的直线l过双曲线的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围    ．

15. 难度：中等

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（A）（选修4-4坐标系与参数方程）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线的距离的最小值是    ．
（B）（选修4-5不等式选讲）已知2x+y=1，x＞0，y＞0，则的最小值是    ．
（C）（选修4-1几何证明选讲）若直角△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，且AD=1，BD=2，则△ABC的面积为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在城A的西南方向上有一个观测站B，在城A的南偏东15°的方向上有一条笔直的公路，一辆汽车正沿着该公路上向城A驶来．某一刻，在观测站B处观测到汽车与B处相距31km，在10分钟后观测到汽车与B处相距21km．若汽车速度为120km/h，求该汽车还需多长时间才能到达城A？

17. 难度：中等

某班级共有60名学生．先用抽签法从中抽取部分学生调查他们的学习情况，若每名学生被抽到的概率为．
（I）求从中抽取的学生数，
（Ⅱ）若抽查结果如下表

每周学习时间（小时）	[0，10]	[10，20）	[20，30）	[30，40）
人数	2	4	x	1

先确定x，再完成频率分布直方图；
（III）估计该班学生每周学习时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

18. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．
（1）证明：AD⊥平面PBC；
（2）求三棱锥D-ABC的体积．

19. 难度：中等

已知f（x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），…（n∈N^*）是首项为m²，公比为m的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若b_n=a_n•f（a_n），且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=2时，求S_n．

20. 难度：中等

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上．若右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数
（1）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（2）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．