2013年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若z∈C，且（1-i）•z=2i，则z=    ．

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₅=3，a₆=-2，则{a_n}的前10项和S₁₀=    ．

3. 难度：中等

函数f（x）=（x≥0）的反函数f^-1（x）=    ．

4. 难度：中等

方程log₂（1-2^x）=-1的解x=    ．

5. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（2，1），B（5，y），若，则y=    ．

6. 难度：中等

已知集合A={x||x|＜3}，B={x|x²-3x+2＞0}，则集合{x|x∈A且X∉（A∩B）}=    ．

7. 难度：中等

某校老、中、青老师的人数分别为80、160、240．现要用分层抽样的方法抽取容量为60的样本参加普通话测试，则应抽取的中年老师的人数为    ．

8. 难度：中等

若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数k的值是    ．

9. 难度：中等

书架上有3本不同的数学书，2本不同的语文书，2本不同的英语书，将它们任意地排成一排，则左边3本都是数学书的概率为    （结果用分数表示）．

10. 难度：中等

如图所示的算法框图，若输出S的值是90，那么在判断框（1）处应填写的条件是    ．

11. 难度：中等

已知三个球的半径R₁，R₂，R₃满足R₁+2R₂=3R₃，则它们的表面积S₁，S₂，S₃，满足的等量关系是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-cosx，x∈，则满足f（x）＞f（）的x的取值范围为    ．

13. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）被围于由4条直线x=±a，y=±b所围成的矩形ABCD内，任取椭圆上一点P，若=m•+n•（m、n∈R），则m、n满足的一个等式是    ．

14. 难度：中等

将正奇数排成如图所示的三角形数表：
1
3，5
7，9，11
13，15，17，19
…
其中第i行第j个数记为a_ij（i、j∈N^*），例如a₄₂=15，若a_ij=2011，则i+j=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若集合P={1，2，3，4}，Q={x|0＜x＜5，x∈R}，则“x∈P”是“x∈Q”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

若m＜n，p＜q，且（p-m）（p-n）＜0，（q-m）（q-n）＜0，则（ ）
A．m＜p＜n＜q
B．p＜m＜q＜n
C．m＜p＜q＜n
D．p＜m＜n＜q

17. 难度：中等

设0＜a＜b，则函数y=|x-a|（x-b）的图象大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

若直线ax+by+4=0和圆x²+y²=4没有公共点，则过点（a，b）的直线与椭圆+=1的公共点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．需根据a，b的取值来确定

三、解答题

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=4，∠ABC=90°．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积S；
（2）求异面直线A₁B与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=sincos+cos²．
（1）求方程f（x）=0的解集；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f（x）的值域．

21. 难度：中等

已知双曲线C的方程为x²-=1，点A（m，2m）和点B（n，-2n）（其中m和n均为正数）是双曲线C的两条渐近线上的两个动点，双曲线C上的点P满足=λ•（其中λ∈[，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O为坐标原点）面积的取值范围．

22. 难度：中等

定义x₁，x₂，…，x_n的“倒平均数”为（n∈N^*）．已知数列{a_n}前n项的“倒平均数”为，记c_n=（n∈N^*）．
（1）比较c_n与c_n+1的大小；
（2）设函数f（x）=-x²+4x，对（1）中的数列{c_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
（3）设数列{b_n}满足b₁=1，b₂=b（b∈R且b≠0），b_n=|b_n-1-b_n-2|（n∈N^*且n≥3），且{b_n}是周期为3的周期数列，设T_n为{b_n}前n项的“倒平均数”，求T_n．

23. 难度：中等

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的范围；
（Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数k的范围．