2013年中国人民大学附中高考数学冲刺试卷05（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合U=R，A={x|x²-5x+6≥0}，那么∁_UA=（ ）
A．{x|x＜2或x＞3}
B．{x|2＜x＜3}
C．{x|x≤2或x≥3}
D．{x|2≤x≤3}

2. 难度：中等

的展开式中常数项是（ ）
A．-160
B．-20
C．20
D．160

3. 难度：中等

已知平面向量、的夹角为60°，则=（，1），||=1，则|+2|═（ ）
A．2
B．
C．2
D．2

4. 难度：中等

设等差数列{a_n}的公差d≠0，a₁=4d．a_k是a₁与a_2k的等比中项，则k=（ ）
A．3或-1
B．3或1
C．3
D．1

5. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；
②若α∥β，m⊂α，则m∥β；
③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③
B．①②
C．③④
D．②③

6. 难度：中等

已知函数f（x）= 若f（2-x²）＞f（x），则实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（2，+∞）
B．（-∞，-2）∪（1，+∞）
C．（-1，2）
D．（-2，1）

7. 难度：中等

从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），，…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．满足f_n（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设f（x）=，则f的n阶周期点的个数是（ ）
A．2n
B．2（2n-1）
C．2ⁿ
D．2n²

二、填空题

9. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=    ．

10. 难度：中等

双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为    ，渐近线方程为    ．

11. 难度：中等

已知圆M：x²+y²-2x-4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为    ．

12. 难度：中等

如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP•NP=    ．

13. 难度：中等

对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如表：

花期（天）	11～13	14～16	17～19	20～22
个数	20	40	30	10

则这种卉的平均花期为    天．

14. 难度：中等

将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=，当f（B）取最大值时，判断△ABC的形状．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．

17. 难度：中等

某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．
（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=（a≥0），f′（x）为函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）设函数f（x）的图象与x轴交点为A，曲线y=f（x）在A点处的切线方程是y=3x-3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=e^-ax•f′（x），求函数g（x）的单调区间．

19. 难度：中等

已知点A（-1，0），B（1，0），动点P满足，记动点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程；  
（Ⅱ）直线y=kx+1与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点M（m，0），使得|CM|=|DM|成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知S_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…a_n）}，a_i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S_n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S₅，使得d（U，V）=2，写出m的值；
（Ⅱ）令，U，V∈S_n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；
（Ⅲ）令U=（a₁，a₂，a₃，…a_n），若V∈S_n，求所有d（U，V）之和．