2013年中国人民大学附中高考数学冲刺试卷03（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“x＞2”是“x²＞4”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₁=2，a₂+a₃=13，则a₄+a₅+a₆等于（ ）
A．40
B．42
C．43
D．45

3. 难度：中等

已知函数f（x）对任意的x∈R有f（x）+f（-x）=0，且当x＞0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足，且，那么实数m的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

5. 难度：中等

若如图的程序框图输出的S是126，则①应为（ ）
A．n≤5
B．n≤6
C．n≤7
D．n≤8

6. 难度：中等

已知，，那么sinα+cosα的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数，那么在下列区间中含有函数f（x）零点的为（ ）
A．
B．
C．
D．（1，2）

8. 难度：中等

空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A∈α，点A到β，γ的距离都是3，点P是α上的动点，满足p到β的距离是到p到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到γ的距离的最小值为（ ）
A．
B．3-2
C．6-
D．3-

二、填空题

9. 难度：中等

如果复数（m²+i）（1+mi）是实数，则实数m=    ．

10. 难度：中等

已知曲线C的参数方程为（θ为参数），则曲线上C的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为    ．

11. 难度：中等

从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为    kg；若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正、负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为    ．

12. 难度：中等

已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为    ．

13. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，且当n≥5时，a_n+1=a₁a₂…a_n-1，若数列{b_n}满足对任意n∈N^*，有b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²，则b₅=    ；当n≥5时，b_n=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．

16. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形．∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：PH⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．

17. 难度：中等

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．
（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率；
（Ⅱ）求签约人数ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）试用m表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．

20. 难度：中等

对于n∈N^*（n≥2），定义一个如下数阵：，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，a_ij=1；当i不能整除j时，a_ij=0．设．
（Ⅰ）当n=6时，试写出数阵A₆₆并计算；
（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：=；
（Ⅲ）若，，求证：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．