2013年中国人民大学附中高考数学冲刺试卷07（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={0，1}，B={-1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于（ ）
A．1
B．0
C．-2
D．-3

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数z=i+2i²+3i³所对应的点落在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则下列结论不正确的是（ ）

A．CD∥平面PAF
B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB
D．CF⊥平面PAD

5. 难度：中等

双曲线的渐近线与圆x²+（y-2）²=1相切，则双曲线离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3

6. 难度：中等

函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（ ）
A．10
B．8
C．
D．

7. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=|n-13|，则满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的整数k（ ）
A．有3个
B．有2个
C．有1个
D．不存在

8. 难度：中等

设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a²+b²（ ）
A．最小值为
B．最小值为
C．最大值为
D．最大值为

二、填空题

9. 难度：中等

在△ABC中，若B=2A，，则A=    ．

10. 难度：中等

在的展开式中，x²的系数是    ．

11. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PD切圆O于点C．已知圆O半径为，OP=2，则PC=    ；∠ACD的大小为    ．

12. 难度：中等

在极坐标系中，点关于直线l：ρcosθ=1的对称点的一个极坐标为    ．

13. 难度：中等

定义某种运算⊗，a⊗b的运算原理如右图所示．设f（x）=（0⊗x）x-（2⊗x）．则f（2）=    ；f（x）在区间[-2，2]上的最小值为    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，，其中λ∈R，n=1，2，…．
①当λ=0时，a₂₀=    ；
②若存在正整数m，当n＞m时总有a_n＜0，则λ的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若，求sin2x的值．

16. 难度：中等

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，使，得到三棱锥B-ACD．
（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值；
（Ⅲ）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得，并证明你的结论．

17. 难度：中等

甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动．
（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率．
（Ⅱ）记X为选出的4名选手中女选手的人数，求X的分布列和期望．

18. 难度：中等

已知函数，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积；
（Ⅱ）若函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e⁵，求a的值．

19. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．

20. 难度：中等

若A₁，A₂，…，A_m为集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N^*）的子集，且满足两个条件：
①A₁∪A₂∪…∪A_m=A；
②对任意的{x，y}⊆A，至少存在一个i∈{1，2，3，…，m}，使A_i∩{x，y}={x}或{y}．则称集合组A₁，A₂，…，A_m具有性质P．
如图，作n行m列数表，定义数表中的第k行第l列的数为akl=n=7．

a11	a12	…	a1m
a21	a22	…	a2m
…	…	…	…
an1	an2	…	anm

（Ⅰ）当n=4时，判断下列两个集合组是否具有性质P，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；
集合组1：A₁={1，3}，A₂={2，3}，A₃={4}；
集合组2：A₁={2，3，4}，A₂={2，3}，A₃={1，4}．
（Ⅱ）当n=7时，若集合组A₁，A₂，A₃具有性质P，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合A₁，A₂，A₃；
（Ⅲ）当n=100时，集合组A₁，A₂，…，A_t是具有性质P且所含集合个数最小的集合组，求t的值及|A₁|+|A₂|+…|A_t|的最小值．（其中|A_i|表示集合A_i所含元素的个数）