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2013年中国人民大学附中高考数学冲刺试卷01(理科)(解析版)
一、选择题
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1. 难度:中等
已知集合A={x∈R|0<x<3},B={x∈R|x2≥4},则A∩B=( )
A.{x|2<x<3}
B.{x|2≤x<3}
C.{x|x≤-2或2≤x<3}
D.R
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2. 难度:中等
已知数列{an}为等差数列,Sn是它的前n项和.若a1=2,S3=12,则S4=( )
A.10
B.16
C.20
D.24
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3. 难度:中等
在极坐标系下,已知圆C的方程为ρ=2cosθ,则下列各点在圆C上的是( )
A.manfen5.com 满分网
B.manfen5.com 满分网
C.manfen5.com 满分网
D.manfen5.com 满分网
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4. 难度:中等
执行如图所示的程序框图,若输出x的值为23,则输入的x值为( )
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A.0
B.1
C.2
D.11
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5. 难度:中等
已知平面α∩β=l,m是α内不同于l的直线,那么下列命题中错误 的是( )
A.若m∥β,则m∥l
B.若m∥l,则m∥β
C.若m⊥β,则m⊥l
D.若m⊥l,则m⊥β
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6. 难度:中等
已知非零向量manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网满足manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网=0,向量manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网夹角为120°,且|manfen5.com 满分网|=2|manfen5.com 满分网|,则向量manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网的夹角为( )
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
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7. 难度:中等
如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)=cos2(ωx+φ)(ω,φ为常数)的图象如图所示(图象经过点(1,0)),那么ω的值为( )
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A.1
B.2
C.3
D.4
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8. 难度:中等
已知抛物线M:y2=4x,圆N:(x-1)2+y2=r2(其中r为常数,r>0).过点(1,0)的直线l交圆N于C、D两点,交抛物线M于A、B两点,且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是( )
A.r∈(0,1]
B.r∈(1,2]
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二、填空题
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9. 难度:中等
复数manfen5.com 满分网=   
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10. 难度:中等
为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示),记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为    .(用“>”连接)manfen5.com 满分网
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11. 难度:中等
如图,A,B,C是⊙O上的三点,BE切⊙O于点B,D是CE与⊙O的交点.若∠BAC=70°,则∠CBE=    °;若BE=2,CE=4,则CD=   
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12. 难度:中等
已知平面区域D={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},在区域D内任取一点,则取到的点位于直线y=kx(k∈R)下方的概率为   
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13. 难度:中等
若直线l被圆C:x2+y2=2所截的弦长不小于2,则在下列曲线中:
①y=x2-2②(x-1)2+y2=1③manfen5.com 满分网④x2-y2=1
与直线l一定有公共点的曲线的序号是    .(写出你认为正确的所有序号)
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14. 难度:中等
如图,线段AB=8,点C在线段AB上,且AC=2,P为线段CB上一动点,点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x,△CPD的面积为f(x).则f(x)的定义域为    ; f′(x)的零点是   
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三、解答题
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15. 难度:中等
在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,且c=1.
(Ⅰ)求tanA;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
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16. 难度:中等
在如图的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.
(Ⅰ) 求证:AB∥平面DEG;
(Ⅱ) 求证:BD⊥EG;
(Ⅲ) 求二面角C-DF-E的余弦值.

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17. 难度:中等
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为manfen5.com 满分网.现有10件产品,其中6件是一等品,4件是二等品.
(Ⅰ) 随机选取1件产品,求能够通过检测的概率;
(Ⅱ)随机选取3件产品,其中一等品的件数记为X,求X的分布列;
(Ⅲ) 随机选取3件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.
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18. 难度:中等
已知函数f(x)=x-alnx,manfen5.com 满分网
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的单调区间;
(Ⅲ)若在[1,e](e=2.718…)上存在一点x,使得f(x)<g(x)成立,求a的取值范围.
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19. 难度:中等
已知椭圆manfen5.com 满分网(a>b>0)经过点manfen5.com 满分网,其离心率为manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线manfen5.com 满分网与椭圆C相交于A、B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆C上,O为坐标原点.求|OP|的取值范围.
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20. 难度:中等
已知每项均是正整数的数列A:a1,a2,a3,…,an,其中等于i的项有ki个(i=1,2,3…),设bj=k1+k2+…+kj(j=1,2,3…),g(m)=b1+b2+…+bm-nm(m=1,2,3…).
(Ⅰ)设数列A:1,2,1,4,求g(1),g(2),g(3),g(4),g(5);
(Ⅱ)若数列A满足a1+a2+…+an-n=100,求函数g(m)的最小值.
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