2013年中国人民大学附中高考数学冲刺试卷01（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R|0＜x＜3}，B={x∈R|x²≥4}，则A∩B=（ ）
A．{x|2＜x＜3}
B．{x|2≤x＜3}
C．{x|x≤-2或2≤x＜3}
D．R

2. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，S_n是它的前n项和．若a₁=2，S₃=12，则S₄=（ ）
A．10
B．16
C．20
D．24

3. 难度：中等

在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ=2cosθ，则下列各点在圆C上的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为（ ）

A．0
B．1
C．2
D．11

5. 难度：中等

已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A．若m∥β，则m∥l
B．若m∥l，则m∥β
C．若m⊥β，则m⊥l
D．若m⊥l，则m⊥β

6. 难度：中等

已知非零向量，，满足++=0，向量与夹角为120°，且||=2||，则向量与的夹角为（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°

7. 难度：中等

如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos²（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1，0）），那么ω的值为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知抛物线M：y²=4x，圆N：（x-1）²+y²=r²（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是（ ）
A．r∈（0，1]
B．r∈（1，2]
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

复数=    ．

10. 难度：中等

为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s₁，s₂，s₃，则它们的大小关系为    ．（用“＞”连接）

11. 难度：中等

如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是CE与⊙O的交点．若∠BAC=70°，则∠CBE=    °；若BE=2，CE=4，则CD=    ．

12. 难度：中等

已知平面区域D={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y=kx（k∈R）下方的概率为    ．

13. 难度：中等

若直线l被圆C：x²+y²=2所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：
①y=x²-2②（x-1）²+y²=1③④x²-y²=1
与直线l一定有公共点的曲线的序号是    ．（写出你认为正确的所有序号）

14. 难度：中等

如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的定义域为    ； f′（x）的零点是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，，且c=1．
（Ⅰ）求tanA；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

16. 难度：中等

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求证：BD⊥EG；
（Ⅲ） 求二面角C-DF-E的余弦值．

17. 难度：中等

某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．
（Ⅰ） 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
（Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；
（Ⅲ） 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x-alnx，．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x，使得f（x）＜g（x）成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．

20. 难度：中等

已知每项均是正整数的数列A：a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中等于i的项有k_i个（i=1，2，3…），设b_j=k₁+k₂+…+k_j（j=1，2，3…），g（m）=b₁+b₂+…+b_m-nm（m=1，2，3…）．
（Ⅰ）设数列A：1，2，1，4，求g（1），g（2），g（3），g（4），g（5）；
（Ⅱ）若数列A满足a₁+a₂+…+a_n-n=100，求函数g（m）的最小值．