《导数及其应用》2013年高三数学一轮复习单元训练（北京邮电大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

曲线y=与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2-ln2
B．4-21n2
C．4-ln2
D．21n2

2. 难度：中等

若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=
对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

3. 难度：中等

已知b＞a，下列值：∫f（x）dx，∫|f（x）|dx，|∫|的大小关系为（ ）
A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）d
B．∫|f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）d
C．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）d
D．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）d

4. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=e^x+a•e^-x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．ln2
B．-ln2
C．
D．

5. 难度：中等

函数f（x）满足f（0）=0，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）

A．
B．
C．2
D．

6. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）≤bf（a）
B．bf（a）≤af（b）
C．af（a）≤f（b）
D．bf（b）≤f（a）

7. 难度：中等

=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知f（a）=∫¹（2ax²-a²x）dx，则f（a）的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数y=2cosx（0≤x≤2π）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ）
A．4
B．8
C．2π
D．4π

10. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+b（a≠0），若∫³f（x）dx=3f（x），则x=（ ）
A．±1
B．
C．
D．2

11. 难度：中等

如图，阴影部分面积为（ ）

A．∫_a^b[f（x）-g（x）]d
B．∫_a^c[g（x）-f（x）]dx+∫_c^b[f（x）-g（x）]d
C．∫_a^c[f（x）-g（x）]dx+∫_c^b[g（x）-f（x）]d
D．∫_a^b[g（x）-f（x）]d

12. 难度：中等

已知函数，若函数f（x）的图象上点P（1，m）处的切线方程为3x-y+b=0，则m的值为（ ）
A．
B．
C．-
D．-

二、填空题

13. 难度：中等

已知函数f（x）=，那么方程f（x）=0在区间[-100，100]上的根的个数是     ．

14. 难度：中等

计算 =    ．

15. 难度：中等

求曲线y=-x³+x²+2x与x轴所围成的图形的面积为    ．

16. 难度：中等

由曲线y=与y=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值；
（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

已知某厂生产x件产品的总成本为f（x）=25000+200x+（元）．
（1）要使生产x件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

19. 难度：中等

定义函数F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞）．
（1）令函数f（x）=F[1，]的图象为曲线C₁求与直线4x+15y-3=0垂直的曲线C₁的切线方程；
（2）令函数g（x）=F[1，]的图象为曲线C₂，若存在实数b使得曲线C₂在x（x∈（1，4））处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；
（3）当x，y∈N^*，且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）．

20. 难度：中等

计算下列定积分的值
（1）∫（4x-x²）dx；
（2）∫（x-1）⁵dx；
（3）∫（x+sinx）dx；
（4）∫cos²xdx．

21. 难度：中等

计算下列定积分
（1）∫（3x²+sinx）dx；           
（2）∫dx．

22. 难度：中等

某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5 ）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例．已知每件产品的日售价为40．
元时，日销售量为10件．
（1）求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．