《数列》2013年高三数学一轮复习单元训练（北京邮电大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₂=6，a₅=15，若b_n=a_2n，则数列{b_n}的前5项和等于（ ）
A．30
B．45
C．90
D．186

2. 难度：中等

已知，则a₁₀=（ ）
A．-3
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₄=15，S₅=55，则过点P（3，a₃），Q（4，a₄）的直线斜率为（ ）
A．4
B．
C．-4
D．-

4. 难度：中等

下面是电影《达芬奇密码》中的一个片段：女主角欲输入一个由十个数字组成的密码，但当她果断地依次输入了前八个数字11235813，欲输入最后两个数字时她犹豫了，也许是她真的忘记了最后的两个数字、也许…．请你依据上述相关信息推测最后的两个数字最有可能的是（ ）
A．21
B．20
C．13
D．31

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃+3a₆+a₉=15，则S₁₁等于（ ）
A．78
B．66
C．55
D．33

6. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=-16，a₄=8，则a₇=（ ）
A．-4
B．±4
C．-2
D．±2

7. 难度：中等

设S_n表示等差数列{a_n}的前n项和，已知，那么等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

等差数列{a_n}的前9项的和等于前4项的和，若a₁=1，a_k+a₄=0，则k=（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7

9. 难度：中等

公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n．若a₄是a₃与a₇的等比中项，S₈=32，则S₁₀等于（ ）
A．18
B．24
C．60
D．90

10. 难度：中等

已知各项均不为零的数列{a_n}，定义向量，，n∈N^*．下列命题中真命题是（ ）
A．若∀n∈N^*总有∥成立，则数列{a_n}是等差数列
B．若∀n∈N^*总有∥成立，则数列{a_n}是等比数列
C．若∀n∈N^*总有⊥成立，则数列{a_n}是等差数列
D．若∀n∈N^*总有⊥成立，则数列{a_n}是等比数列

11. 难度：中等

设{a_n}是等差数列，若a₂=3，a₇=13，则数列{a_n}前8项的和为（ ）
A．128
B．80
C．64
D．56

12. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₂₀+a₂₁=10，a₂₂+a₂₃=20，则a₂₄+a₂₅=（ ）
A．40
B．70
C．30
D．90

二、填空题

13. 难度：中等

在数列{a_n}和{b_n}中，b_n是a_n和a_n+1的等差中项，a₁=2且对任意n∈N^*都有3a_n+1-a_n=0，则{b_n}的通项b_n=    ．

14. 难度：中等

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若a₁=1，公差d=2，S_k+2-S_k=24，则k=    ．

15. 难度：中等

正项等比数列{a_n}中，若a₅•a₆=81，则log₃a₁+log₃a₁₀=    ．

16. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足a_n＞0，n=l，2，…，且a₅•a_2n-5=2²ⁿ（n≥3），则当n≥3时，log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_2n-1=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a＞0）．正项数列{b_n}满足=a_na_n+1（n∈N^*）．若 {b_n}是公比为的等比数列
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a=，S_n为{a_n}的前n项和，记T_n=设为数列{T_n}的最大项，求n．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m、n∈N^*都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2（m-n）²
（1）求a₃，a₅；
（2）设b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N^*），证明：{b_n}是等差数列；
（3）设c_n=（a_n+1-a_n）q^n-1（q≠0，n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a₁=1，（n=1，2，…）．
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有a_n＞α；
（3）记（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}，且满足a_n+1-a_n=b_n（n=1，2，3，…）．
（1）若a₁=0，b_n=2n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为常数列；
（3）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．若数列{}中必有某数重复出现无数次，求首项a₁应满足的条件．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n+n-4（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nlog₂（a_n-1），求数列{c_n}的前n项和为T_n．