《圆锥曲线与方程》2013年高三数学一轮复习单元训练（北京邮电大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

在同一坐标系中，方程a²x²+b²y²=1与ax+by²=0（a＞b＞0）的曲线大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知P是椭圆上一点，F₁和F₂是焦点，若∠F₁PF₂=30°，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A．
B．
C．4（2+）
D．4

4. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点），则该椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

经过原点且与抛物线y=（x+1）²-只有一个公共点的直线有多少条？（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

若点O和点F（-2，0）分别是双曲线-y²=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的一点，并且P点与右焦点F′的连线垂直x轴，则线段OP的长为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若双曲线（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx 的焦点分成7：5的两段，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（ ）
A．K∈[-，]
B．K∈[-∞，-]∪[，+∞]
C．K∈[-，]
D．K∈[-∞，-]∪[，+∞]

10. 难度：中等

若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A．2＜k＜5
B．k＞5
C．k＜2或k＞5
D．以上答案均不对

11. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-4
B．4
C．-2
D．2

二、填空题

12. 难度：中等

已知P为椭圆上一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积S=    ．

13. 难度：中等

已知P是双曲线上一点，F₁、F₂是左右焦点，△P F₁F₂的三边长成等差数列，且∠F₁PF₂=120°，则双曲线的离心率等于    ．

14. 难度：中等

抛物线C：y²=4x上一点Q到点B（4，1）与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为    ．

15. 难度：中等

若点P在曲线C₁：y²=8x上，点Q在曲线C：（x-2）²+y²=1上，点O为坐标原点，则的最大值是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

若直线l：x+my+c=0与抛物线y²=2x交于A、B两点，O点是坐标原点．
（1）当m=-1，c=-2时，求证：OA⊥OB；
（2）若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标．
（3）当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论．

17. 难度：中等

如图，A，B是椭圆C：的左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，已知椭圆的离心率为e，右准线l的方程为x=m．
（1）若，m=4，求椭圆C的方程；
（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于Q，若直线PQ恰过原点，求e．

18. 难度：中等

已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=时，证明：点P在一定圆上．

19. 难度：中等

已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

设F₁，F₂分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F₁到直线l的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的焦距；
（Ⅱ）如果，求椭圆C的方程．

21. 难度：中等

设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，A（x，y）（x≠0）是抛物线C上的一定点．
（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；
（2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A₁处的切线的斜率．