《推理与证明》2013年高三数学一轮复习单元训练（上海交大附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“用反证法证明命题“如果x＜y，那么x＜y”时，假设的内容应该是（ ）
A．x=y
B．x＜y
C．x=y且x＜y
D．x=y或x＞y

2. 难度：中等

“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ）
A．演绎推理
B．类比推理
C．合情推理
D．归纳推理

3. 难度：中等

用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么a²＞b²”时，假设的内容应是（ ）
A．a²=b²
B．a²＜b²
C．a²≤b²
D．a²＜b²，且a²=b²

4. 难度：中等

用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（ ）
A．a，b，c，d中至少有一个正数
B．a，b，c，d全为正数
C．a，b，c，d全都大于等于0
D．a，b，c，d中至多有一个负数

5. 难度：中等

设x，y，z∈（0，+∞），a=x+，b=y+，c=z+，则a，b，c三数（ ）
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2

6. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

7. 难度：中等

用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的假设为（ ）
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

8. 难度：中等

对“a，b，c是不全相等的正数”，给出两个判断：
①（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≠0；②a≠b，b≠c，c≠a不能同时成立，
下列说法正确的是（ ）
A．①对②错
B．①错②对
C．①对②对
D．①错②错

9. 难度：中等

用反证法证明命题“若a²+b²=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（ ）
A．a、b至少有一个不为0
B．a、b至少有一个为0
C．a、b全不为0
D．a、b中只有一个为0

10. 难度：中等

设，则有（ ）
A．m＞n
B．m=n
C．m＜n
D．m，n的大小不定

11. 难度：中等

平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（ ）
A．n+1
B．2n
C．
D．n²+n+1

二、填空题

12. 难度：中等

若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M₁，M₂与点N₁，N₂，则三角形面积之比为：．若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P₁，P₂与点Q₁，Q₂和R₁，R₂，则类似的结论为：    ．

13. 难度：中等

若数列{a_n}的各项按如下规律排列：，，…，…，则a₂₀₁₂=    ．

14. 难度：中等

若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，则此四面体的体积V=    ．

15. 难度：中等

在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论：    ．

三、解答题

16. 难度：中等

祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的．祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵．利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体．试用祖暅原理推导球的体积公式．

17. 难度：中等

已知a，b，c均为实数，且，，c=，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

18. 难度：中等

已知：x，y，z∈（0，1），求证：（1-x）y，（1-y）z，（1-z）x不可能都大于．

19. 难度：中等

已知α、β∈（0，），且，．
求证：对于x＞0，有f（x）＜2．

20. 难度：中等

有一种密英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母（不分大小写），依次对应1，2，3，…，26这26个自然数，见如下表格：

a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l	m
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	o	p	q	r	s	t	u	v	w	x	y	z
14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

给出如下变换公式：
X′=
将明文转换成密文，如8→+13=17，即h变成q；如5→=3，即e变成c．
①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？
②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？

21. 难度：中等

已知函数（a＞1），求证方程f（x）=0没有负数根．