《空间几何体》2013年高三数学一轮复习单元训练（北京邮电大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（ ）
A．4π
B．3π
C．2π
D．π

2. 难度：中等

一质点受到平面上的三个力F₁，F₂，F₃（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F₁，F₂成60°角，且F₁，F₂的大小分别为2和4，则F₃的大小为（ ）
A．6
B．2
C．2
D．2

3. 难度：中等

已知空间直角坐标系中A（1，1，0）且AB=（4，0，2），则B点坐标为（ ）
A．（9，1，4）
B．（9，-1，-4）
C．（8，-1，-4）
D．（8，1，4）

4. 难度：中等

如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'、B'，若AB=12，则A'B'=（ ）

A．4
B．6
C．8
D．9

5. 难度：中等

在正三棱锥P-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，过A作与PB，PC分别交于D和E的截面，则截面△ADE的周长的最小值是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12

6. 难度：中等

向量=（-2，-3，1），=（2，0，4），=（-4，-6，2），下列结论正确的是（ ）
A．∥，⊥
B．∥，⊥
C．∥，⊥
D．以上都不对

7. 难度：中等

正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°

8. 难度：中等

在正四面体ABCD的面上，到棱AB以及C、D两点的距离都相等的点共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

9. 难度：中等

如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）

A．
B．3π
C．
D．2π

10. 难度：中等

湖面上漂着一球，湖结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的表面积为（ ）
A．64π
B．320π
C．576π
D．676π

11. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．若a∥α，α⊥β，则a⊥β
B．α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．a⊥α，α⊥β，则a∥β
D．α∥β，a⊂α则a∥β

二、填空题

12. 难度：中等

在空间直角坐标系中，点P的坐标为（1，，），过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是    ．

13. 难度：中等

设圆锥的母线长为l，底面半径为r，满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的”的情况有且只有一种，则=    ．

14. 难度：中等

一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为    ．

15. 难度：中等

将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的．梯形ABCD所在平面外有一点P，满足PA⊥平面ABCD，PA=PB．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．
（3）求二面角A-PD-C的余弦值．

17. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且D₁E=λEO．
（1）若λ=1，求异面直线DE与CD₁所成角的余弦值；
（2）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

18. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BC C₁B₁；
（Ⅱ）设E是B₁C₁上的一点，当的值为多少时，A₁E∥平面ADC₁？请给出证明．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别是A₁B，A₁C的中点，点D在B₁C₁上，A₁D⊥B₁C．求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．

20. 难度：中等

如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB=2，AC=BC=．
等边三角形ADB以AB为轴运动．
（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
（Ⅱ）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．

21. 难度：中等

如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．
（1）求证：MN∥平面BCD；
（2）求证：平面BCD⊥平面ABC；
（3）若AB=1，BC=，求直线AC与平面BCD所成的角．