2013年中国人民大学附中高考数学冲刺试卷02（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={y|y=x²，x∈R}，N={y|y=x+2，x∈R}，则M∩N等于（ ）
A．[0，+∞）
B．（-∞，+∞）
C．∅
D．{（2，4），（-1，1）}

2. 难度：中等

某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ）
A．8，8
B．10，6
C．9，7
D．12，4

3. 难度：中等

极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程是（ ）
A．（x-2）²+y²=4
B．x²+y²=4
C．x²+（y-2）²=4
D．（x-1）²+（y-1）²=4

4. 难度：中等

已知a_n是由正数组成的等比数列，S_n表示a_n的前n项的和．若a₁=3，a₂a₄=144，则S₁₀的值是（ ）
A．511
B．1023
C．1533
D．3069

5. 难度：中等

函数的单调增区间是（ ）
A．k∈Z
B． k∈Z
C．（2kπ，π+2kπ）k∈Z
D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z

6. 难度：中等

已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的长度d=（2-1）+（5-3）=3．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d₁，d₂，d₃分别表示不等式f（x）＞g（x），方程f（x）=g（x），不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤2011时，有（ ）
A．d₁=1，d₂=2，d₃=2008
B．d₁=1，d₂=1，d₃=2009
C．d₁=3，d₂=5，d₃=2003
D．d₁=2，d₂=3，d₃=2006

二、填空题

9. 难度：中等

复数z₁=3+i，z₂=1-i，则等于    ．

10. 难度：中等

在二项式的展开式中，第四项的系数是    ．

11. 难度：中等

如图，在三角形ABC中，D，E分别为BC，AC的中点，F为AB上的点，且．若，则实数x=    ，实数y=    ．

12. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x=5.2，则输出y的值为    ．

13. 难度：中等

如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E．已知，AE=2EC，∠CBD=30°，则∠CAB=    ，AC的长是    ．

14. 难度：中等

对于各数互不相等的整数数组（i₁，i₂，i₃…i_n） （n是不小于3的正整数），对于任意的p，q∈{1，2，3，…，n}，当p＜q时有i_p＞i_q，则称i_p，i_q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于    ；若数组（i₁，i₂，i₃，…，i_n）中的逆序数为n，则数组（i_n，i_n-1，…，i₁）中的逆序数为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求sinC；
（Ⅱ）当c=2a，且时，求a．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=
90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．

17. 难度：中等

在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是．
（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；
（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

19. 难度：中等

已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

20. 难度：中等

有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a_mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d_m，并且a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn成等差数列．
（Ⅰ）证明d_m=p₁d₁+p₂d₂（3≤m≤n，p₁，p₂是m的多项式），并求p₁+p₂的值；
（Ⅱ）当d₁=1，d₂=3时，将数列d_m分组如下：（d₁），（d₂，d₃，d₄），（d₅，d₆，d₇，d₈，d₉），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为（c_m）⁴（c_m＞0），求数列的前n项和S_n．
（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的S_n，求使得不等式成立的所有N的值．