《第二章 立体几何》2013年高考数学优化训练（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

正方体的表面积是a²，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A．
B．
C．2πa²
D．3πa²

2. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）
A．72
B．66
C．60
D．30

3. 难度：中等

在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有（ ）

A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（2）（4）
D．（3）（4）

4. 难度：中等

如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25

5. 难度：中等

已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是（ ）
A．若α∥β，则m⊥n
B．若α⊥β，则m∥n
C．若m⊥n，则α∥β
D．若n∥α，则α∥β

6. 难度：中等

如图，已知四边形ABCD的直观图是直角梯形A₁B₁C₁D₁，且A₁B₁=B₁C₁=2A₁D₁=2，则四边形ABCD的面积为（ ）

A．3
B．3
C．6
D．6

7. 难度：中等

中心角为π，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为A，则A：B等于（ ）
A．11：8
B．3：8
C．8：3
D．13：8

8. 难度：中等

已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

9. 难度：中等

如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（ ）
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF 上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′-FED的体积有最大值．
A．①
B．①②
C．①②③
D．②③

10. 难度：中等

如图所示，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，BC₁⊥AC，则C₁在面ABC上的射影H必在（ ）

A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线CA上
D．△ABC内部

11. 难度：中等

用一些棱长是1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图（或正视图），若这个几何体的体积为7cm³，则其左视图为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知一个圆柱的正视图的周长为12，则该圆柱的侧面积的最大值等于（ ）
A．π
B．6π
C．9π
D．18π

二、填空题

13. 难度：中等

已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于    ．

14. 难度：中等

如图，是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是    ．

15. 难度：中等

已知a、b是两条异面直线，a⊥b，点P∉a且P∉b．下列命题中：
①在上述已知条件下，平面α一定满足：P∈α，a∥α且b∥α；
②在上述已知条件下，存在平面α，使P∉α，a⊂α且b⊥α；
③在上述已知条件下，直线c一定满足：P∈c，a∥c且b∥c；
④在上述已知条件下，存在直线c，使P∉c，a⊥c且b⊥c．
正确的命题有    （把所有正确的序号都填上）．

16. 难度：中等

如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要    个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．

三、解答题

17. 难度：中等

如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直（图1），图2为该四棱锥的主视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．
（Ⅰ）根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图所在的平面
图形的面积．
（Ⅱ）图3中，E为棱PB上的点，F为底面对角线AC上的点，且，求证：EF∥平面PDA．

18. 难度：中等

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（1）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（2）求证：平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁．

19. 难度：中等

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图（1）所示．墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH．图（2）、图（3）分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图．
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线BD⊥平面PEG．

20. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD
（I）求证：AB⊥DE
（Ⅱ）求三棱锥E-ABD的侧面积．

21. 难度：中等

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

22. 难度：中等

已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）．
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分V_PDCMA：V_MABC=2：1．
（3）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD．