2013年中国人民大学附中高考数学冲刺试卷08（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，A={x|-1＜x＜2}，B={x|x≥0}，则C_U（A∪B）（ ）
A．{x|0≤x＜2}
B．{x|x≥0}
C．{x|x≤-1}
D．{x|x＞-1}

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．-i
B．-1
C．i
D．1

3. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为2，且a₁+a₃=5，则a₂+a₄的值为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25

4. 难度：中等

如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若=（1，2，-3），=（2，a-1，a²-），则“a=1”是“⊥”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

如图，是计算函数y=的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（ ）
A．y=-x，y=0，y=x²
B．y=-x，y=x²，y=0
C．y=0，y=x²，y=-
D．y=0，y=-x，y=x²

7. 难度：中等

在极坐标系中，定点A（1，），动点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，动点B的极坐标是（ ）
A．（，）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

8. 难度：中等

已知三棱锥A-BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）

A．
B．或36+
C．36-
D．或36-

二、填空题

9. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=2cos²x-1的最小正周期为    ；单调递减区间为    ．

11. 难度：中等

如图，是甲、乙两班同学身高（单位：cm）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为    ；若从乙班身高不低于170cm的同学中随机抽取两名，则身高为173cm的同学被抽中的概率为    ．

12. 难度：中等

已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=    ．

13. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是    ．

14. 难度：中等

在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：

时间	油耗（升/100公里）	可继续行驶距离（公里）
10：00	9.5	300
11：00	9.6	220

注：油耗=，可继续行驶距离=，
平均油耗=．
从上述信息可以推断在10：00-11：00这1小时内     （填上所有正确判断的序号）．
①向前行驶的里程为80公里；
②向前行驶的里程不足80公里；
③平均油耗超过9.6升/100公里；
④平均油耗恰为9.6升/100公里；
⑤平均车速超过80公里/小时．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边，已知b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若，，求c的长．

16. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面EFH；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面AHF；
（Ⅲ）求二面角H-EF-A的大小．

17. 难度：中等

为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：

队别	北京	上海	天津	八一
人数	4	6	3	5

（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自于同一支球队的概率；
（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，并求ξ的均值（数学期望）．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax+blnx（x＞0，实数a，b为常数）．
（Ⅰ）若a=1，b=-1，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若a=-2-b，讨论函数f（x）的单调性．

19. 难度：中等

已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

20. 难度：中等

已知集合A=a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2ⁿ，求证：；
（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？