《14.1 归纳与类比》2013年高考数学优化训练（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是（ ）
A．a_n=2n-1
B．a_n=2^n-1
C．a_n=2ⁿ
D．a_n=2ⁿ⁺¹

2. 难度：中等

下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③
B．②③④
C．②④⑤
D．①③⑤

3. 难度：中等

下面使用类比推理恰当的是（ ）
A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”
B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“c=ac•bc”
C．“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”
D．“（ab）ⁿ=aⁿbⁿ”类推出“（a+b）ⁿ=aⁿ+bⁿ”

4. 难度：中等

下列推理是归纳推理的是（ ）
A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a₁=1，a_n=3n-1，求出S₁，S₂，S₃，猜想出数列的前n项和S_n的表达式
C．由圆x²+y²=r²的面积πr²，猜想出椭圆+=1的面积S=πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

5. 难度：中等

下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°
B．某校高三（1）班有55人，（2）班有54人，（3）班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=（a_n-1+）（n≥2），由此归纳出{a_n}的通项公式

6. 难度：中等

如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2011次跳后它将停在的点是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

7. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a_n＞0，公差为d＞0，则有a₄•a₆＞a₃•a₇，类比上述性质，在等比数列{b_n}中，若b_n＞0，q＞1，写出b₅，b₇，b₄，b₈的一个不等关系    ．

8. 难度：中等

对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：
①；②（a+b）²=a²+2ab+b²；
③若|a|=|b|，则a=±b；④若a²=ab，则a=b．
那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是    ．

9. 难度：中等

图（1）为相互成120°的三条线段，长度均为1，图（2）在第一张图的线段的前端作两条与该线段成120°的线段，长度为其一半，图（3）用图（2）的方法在每一线段前端生成两条线段，长度为其一半，重复前面的作法至第n张图，设第n个图形所有线段长之和为a_n，则a_n=   

三、解答题

10. 难度：中等

用三段论的形式写出下列演绎推理．
（1）若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；
（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等．

11. 难度：中等

已知：sin²30°+sin²90°+sin²150°=，
sin²5°+sin²65°+sin²125°=．
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．

12. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d=2，首项a₁=5．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）设T_n=n（2a_n-5），求S₁，S₂，S₃，S₄，S₅；T₁，T₂，T₃，T₄，T₅，并归纳出S_n与T_n的大小规律．