2013年上海市嘉定区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若（i为虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

设集合A={x|4x-1≥9，x∈R}，B={x|≥0，x∈R}，则A∩B=    ．

3. 难度：中等

函数y=（sinx+cosx）²+1的最小正周期是    ．

4. 难度：中等

一组数据8，12，x，11，9 的平均数是10，则这组数据的方差是：    ．

5. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=-10，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是    ．

6. 难度：中等

若执行如图所示的程序框图，则输出的a的值为    ．

7. 难度：中等

小王同学有5本不同的语文书和4本不同的英语书，从中任取2本，则语文书和英语书各有1本的概率为    （结果用分数表示）．

8. 难度：中等

一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R的半圆，则这个圆锥的底面积是    ．

9. 难度：中等

动点P（x，y）到点F（0，1）的距离与它到直线y+1=0的距离相等，则动点P的轨迹方程为    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos=，=3，则△ABC 的面积为    ．

11. 难度：中等

已知点，，，其中n为正整数，设S_n表示△ABC的面积，则=    ．

12. 难度：中等

给定2个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若=，其中x，y∈R，则（x-1）²+y²的最大值为    ．

13. 难度：中等

设a、b∈R，且a≠-2，若定义在区间（-b，b）内的函数是奇函数，则a^b的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在数列{a_n}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N^*满足a_n+T=a_n，则称{a_n}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{x_n}满足x₁=1，x₂=a（a≤1），x_n+2=|x_n+1-x_n|，当数列{x_n}的周期为3时，则{x_n}的前2013项的和S₂₀₁₃=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知x为实数，条件p：x²＜x，条件q：≥1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

以下说法错误的是（ ）
A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是[0，π）
B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是
C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是[0，π）
D．空间两条直线所成角的取值范围是

17. 难度：中等

设偶函数f（x），当x≥0时，f（x）=x³-8，则{x|f（x-2）＞0}=（ ）
A．{x|x＜-2或x＞4}
B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6}
D．{x|x＜-2或x＞2}

18. 难度：中等

在平面直角坐标系内，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）为不同的两点，直线l的方程为ax+by+c=0，δ₁=ax₁+by₁+c，δ₂=ax₂+by₂+c．有四个命题：
①若δ₁δ₂＞0，则点M、N一定在直线l的同侧；
②若δ₁δ₂＜0，则点M、N一定在直线l的两侧；
③若δ₁+δ₂=0，则点M、N一定在直线l的两侧；
④若，则点M到直线l的距离大于点N到直线l的距离．
上述命题中，全部真命题的序号是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④

三、解答题

19. 难度：中等

设复数z=（a2-4sin²θ）+（1+2cosθ）i，其中i为虚数单位，a为实数，θ∈（0，π）．若z是方程x²-2x+5=0的一个根，且z在复平面内所对应的点在第一象限，求θ与a的值．

20. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=PA=2．
（1）求三棱锥P-ABC的体积V；
（2）求异面直线AB与PC所成角的大小．

21. 难度：中等

如图，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（1）设动点P满足|PF|²-|PB|²=3，求点P的轨迹；
（2）若x₁=3，，求点T的坐标．

22. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．数列{b_n}的前n项和为T_n，满足T_n=1-b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）写出一个正整数m，使得是数列{b_n}的项；
（3）设数列{c_n}的通项公式为，问：是否存在正整数t和k（k≥3），使得c₁，c₂，c_k成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对（t，k）；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|，
（Ⅰ）当a=2时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．