《2.4 垂直关系》2013年高考数学优化训练（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（ ）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④

3. 难度：中等

已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）

A．AB∥m
B．AC⊥m
C．AB∥β
D．AC⊥β

4. 难度：中等

如图所示，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，BC₁⊥AC，则C₁在面ABC上的射影H必在（ ）

A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线CA上
D．△ABC内部

5. 难度：中等

已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题中，错误命题的个数是（ ）
①α∥β，m⊈α，n⊈β，则m∥n；
②若m⊈α，n⊈α，且m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α⊥β，m⊈α，则m⊥β； 
④若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α．
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

如图在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱锥A₁-ABC的面是直角三角形的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

7. 难度：中等

已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题：
①若a∥α，则α内的任何直线都与a平行；
②若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直；
③若α∥β，则β内的任何直线都与α平行；
④若α⊥β，则β内的任何直线都与α垂直．
则其中    是真命题．

8. 难度：中等

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足    时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

9. 难度：中等

正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为    ．

三、解答题

10. 难度：中等

如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F．求证：（1）BC⊥平面PAB；
（2）AE⊥平面PBC；
（3）PC⊥EF．

11. 难度：中等

如图1，矩形ABCD中，AB=2AD=2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图2．
（1）求四棱锥D-ABCE的体积；
（2）求证：AD⊥平面BDE．

12. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁分别是棱AD，AA₁的中点．
（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（2）证明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．