2013年上海市崇明县高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设复数z（2-i）=11+7i（i为虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

已知α∈（0，π）且，则α=    ．

3. 难度：中等

过点P（1，-1），且与直线l：x-y+1=0垂直的直线方程是    ．

4. 难度：中等

若集合，则A∩B等于    ．

5. 难度：中等

已知y=f^-1（x）是函数f（x）=x²+2（x≤0）的反函数，则f^-1（3）=    ．

6. 难度：中等

展开式中x⁴的系数是    ．（用数字作答）

7. 难度：中等

执行框图，会打印出一列数，这个数列的第3项是    ．

8. 难度：中等

若圆锥的侧面展开图是半径为1cm、圆心角为180°的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于    ．

9. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式是，前n项和为S_n，则=    ．

10. 难度：中等

已知：条件A：，条件B：x＞a，如果条件A是条件B的充分不必要条件，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a²+b²=2c²，则cosC的最小值等于    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O（0，0），P（6，8），将向量按逆时针旋转后得向量，则点Q的坐标是    ．

13. 难度：中等

数列{a_n}满足，则{a_n}的前60项和为    ．

14. 难度：中等

已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

设函数f（x）=|sinx|，x∈R，则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的值域为[0，1]
B．f（x）是偶函数
C．f（x）不是周期函数
D．f（x）不是单调函数

16. 难度：中等

下面是关于复数的四个命题：
①|z|=2； ②z²=2i； ③z的共轭复数为1+i； ④z的虚部为-1．
其中正确的命题（ ）
A．②③
B．①②
C．②④
D．③④

17. 难度：中等

等轴双曲线C：x²-y²=a²与抛物线y²=16x的准线交于A，B两点，，则双曲线C的实轴长等于（ ）
A．
B．
C．4
D．8

18. 难度：中等

某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当时，求函数f（x）的值域以及函数f（x）的单调区间．

20. 难度：中等

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，AO⊥平面BCD，CA=CB=CD=BD=2．
（1）求三棱锥A-BCD的体积；
（2）求异面直线AE与CD所成角的大小．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}，记A（n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+a₄+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+a₅+…+a_n+2，（n=1，2，3，…），并且对于任意n∈N^*，恒有a_n＞0成立．
（1）若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

22. 难度：中等

设函数．
（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函数f_n（x）在区间内的零点；
（2）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间内存在唯一的零点；
（3）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围．

23. 难度：中等

如图，椭圆的左焦点为F₁，右焦点为F₂，过F₁的直线交椭圆于A，B两点，△ABF₂的周长为8，且△AF₁F₂面积最大时，△AF₁F₂为正三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：①以PQ为直径的圆与x轴的位置关系？
②在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．