2013年上海市长宁区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

计算：=    ．

2. 难度：中等

记函数y=f（x）的反函数为y=f^-1（x）如果函数y=f（x）的图象过点（1，2），那么函数 y=f^-1（x）+1的图象过点    ．

3. 难度：中等

已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为    ．（结果精确到0.001）

4. 难度：中等

（2-）⁸ 展开式中含x⁴项的系数为    ．

5. 难度：中等

设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2^x+2x+b（b为常数），则f（-2）=    ．

6. 难度：中等

已知z为复数，且i（z+2i）=1，则z=    ．

7. 难度：中等

从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列{b_n}，使得该新数列的各项和为，则此数列{b_n}的通项公式为    ．

8. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，输出的S值为    ．

9. 难度：中等

已知△ABC的面积为，AC=，∠ABC=，则△ABC的周长等于    ．

10. 难度：中等

给出下列命题中：
①向量，满足||=||=|-|，则与+的夹角为30°；
②＞0，是，的夹角为锐角的充要条件；
③将函数y=|x-1|的图象向左平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式为y=|x|；
④若（+）•（-）=0，则△ABC为等腰三角形；
以上命题正确的是    ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

11. 难度：中等

已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为    ．

12. 难度：中等

已知向量=（x-1，2），=（4，y），若⊥，则9^x+3^y的最小值为    ．

13. 难度：中等

设a为非零实数，偶函数f（x）=x²+a|x-m|+1（x∈R）在区间（2，3）上存在唯一零点，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=a_n-1+（）ⁿ（n≥2），且n∈N^*），则数列{a_n}中项的最大值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“φ=”是“函数y=sing（x+φ）为偶函数的”（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

在△ABC中，若•+²=0，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形

17. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面下列命题中不正确的是（ ）
A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

18. 难度：中等

已知函数若f（2-a²）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（2，+∞）
B．（-1，2）
C．（-2，1）
D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

三、解答题

19. 难度：中等

已知，满足．
（Ⅰ）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对应边长，若，且a=2，求b+c的取值范围．

20. 难度：中等

如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．

21. 难度：中等

某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．
（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；
（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170-0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）

22. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+|a-1|x+a．
（1）函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）关于x不等式≥2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）函数g（x）=f（x）+在（2，3）上是增函数，求实数a的取值范围．

23. 难度：中等

设f（x）=x³，等差数列{a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记S_n=，令b_n=a_nS_n，数列的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式和S_n；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．