2013年上海市宝山区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

在复数范围内，方程x²+x+1=0的根是    ．

2. 难度：中等

已知，则二阶矩阵X=    ．

3. 难度：中等

设A（2，3），B（-1，5），且，则点D的坐标是    ．

4. 难度：中等

已知复数（x-2）+yi（x，y∈R）的模为，则的最大值是    ．

5. 难度：中等

不等式的解集是    ．

6. 难度：中等

执行下边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=    ．

7. 难度：中等

将函数的图象向左平移a（a＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则a的最小值为    ．

8. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，且f（-1）=2，则f（2011）+f（2012）=    ．

9. 难度：中等

展开式中的常数项是    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积是    ．

11. 难度：中等

若数列{a_n}的通项公式是，则 =    ．

12. 难度：中等

已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R=    ．

13. 难度：中等

我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①    ；②    ．

14. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面直角坐标系上的两点，定义点A到点B的曼哈顿距离L（A，B）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．若点A（-1，1），B在y²=x上，则L（A，B）的最小值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

在△ABC中，有命题
①；
②；
③若，则△ABC为等腰三角形；
④若，则△ABC为锐角三角形．
上述命题正确的是（ ）
A．①②
B．①④
C．②③
D．②③④

17. 难度：中等

函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的充要条件是 （ ）
A．a²+b²=0
B．a+b=0
C．a=b
D．ab=0

18. 难度：中等

已知f（x）=，则下列四图中所作函数的图象错误的是（ ）
A．
f（x-1）的图象
B．
f（-x）的图象
C．
 f（|x|）的图象
D．
|f（x）|的图象

三、解答题

19. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为8，且AB=AC=2，∠BAC=90°，E是AA₁的中点，O是C₁B₁的中点．求异面直线C₁E与BO所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

20. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x，2）和（x+2π，-2）．
（1）求f（x）的解析式及x的值；
（2）若锐角θ满足，求f（4θ）的值．

21. 难度：中等

已知函数，g（x）=x．
（1）当b=-5时，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范围．

22. 难度：中等

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．
（1）若p=2，求线段AF中点M的轨迹方程；
（2）若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求△OAB的面积；
（3）若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列．

23. 难度：中等

已知定义域为R的二次函数f（x）的最小值为0且有f（1+x）=f（1-x），直线g（x）=4（x-1）被f（x）的图象截得的弦长为，数列{a_n}满足，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0（n∈N^*）．
（1）函数f（x）；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求数列{b_n}的最值及相应的n．