2013年上海市闸北区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知（a-i）²=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=    ．

2. 难度：中等

已知（1+px²）⁵的展开式中，x⁶的系数为80，则p=    ．

3. 难度：中等

设{a_n}是公比为的等比数列，且，则a₁=    ．

4. 难度：中等

设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为    ．

5. 难度：中等

函数，则f（3.5）的值为    ．

6. 难度：中等

一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α（0°＜α＜45°），在海面上向山顶的方向行进m米后，测得山顶C的仰角为90°-α，则该山的高度为    米．（结果化简）

7. 难度：中等

已知点P在抛物线y²=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为    ．

8. 难度：中等

甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有     种．

9. 难度：中等

设不等式的解集为D，若-1∈D，则D=    ．

10. 难度：中等

设函数则方程f（x）=x²+1的实数解的个数为    ．

二、选择题

11. 难度：中等

曲线x²+y²-6x=0（y＞0）与直线y=k（x+2）有公共点的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知向量，满足：，且（k＞0）．则向量与向量的夹角的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

以下四个命题中，真命题的个数为（ ）
①集合{a₁，a₂，a₃，a₄}的真子集的个数为15；
②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；
③设z₁，z₂∈C，若，则z₁=0且z₂=0；
④设无穷数列{a_n}的前n项和为S_n，若{S_n}是等差数列，则{a_n}一定是常数列．
A．0
B．1
C．2
D．3

三、解答题

14. 难度：中等

已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．
（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）当时，求f（x）的取值范围．

15. 难度：中等

如图，某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为800平方米，问：应怎样设计试验田ABCD的长与宽，才能使其占地面积最小？最小占地面积是多少？

16. 难度：中等

假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学习过对数的相关概念．由指数函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在实数集R上是单调函数，可知指数函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）存在反函数y=f^-1（x），x∈（0，+∞）．请你依据上述假设和已知，在不涉及对数的定义和表达形式的前提下，证明下列命题：
（1）对于任意的正实数x₁，x₂，都有f^-1（x₁x₂）=；
（2）函数y=f^-1（x）是单调函数．

17. 难度：中等

设点F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设定点D（m，0），已知过点F₂且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，满足|AD|=|BD|，求m的取值范围．

18. 难度：中等

若数列{b_n}满足：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如：若则{c_n}是公差为8的准等差数列．
（1）求上述准等差数列{c_n}的第8项c₈、第9项c₉以及前9项的和T₉；
（2）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式；
（3）设（2）中的数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₆₃＞2012，求a的取值范围．