2013年上海市虹口区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²+2x-3＜0}，B={x||x-1|＜2}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

已知向量=（1，-2），，，，如果，则实数λ=    ．

3. 难度：中等

从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为     ．

4. 难度：中等

双曲线的两条渐近线的夹角大小等于    ．

5. 难度：中等

已知sinα=3cosα，则=    ．

6. 难度：中等

在下面的程序框图中，输出的y是x的函数，记为y=f（x），则=    ．

7. 难度：中等

关于z的方程（其中i是虚数单位），则方程的解z=    ．

8. 难度：中等

若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是    ．

9. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，已知a₁a₂=32，a₃a₄=2，则=    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，，AC=2，且，则△ABC的面积为    ．

11. 难度：中等

已知正实数x、y满足x+2y=xy，则2x+y的最小值等于    ．

12. 难度：中等

等差数列{a_n}前n项和为S_n．已知a_m-1+a_m+1-a²_m=0，S_2m-1=38，则m=    ．

13. 难度：中等

设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，且在[0，]上单调递减，在[，π]上单调递增，则函数y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零点个数为    ．

14. 难度：中等

设点P在曲线y=x²+2上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值等于    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若2-i是关于x的实系数方程x²+ax+b=0的一根，则该方程两根的模的和为（ ）
A．
B．
C．5
D．10．

16. 难度：中等

已知l₁、l₂、l₃是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．如果l₁⊥l₂，l₂∥l₃．则l₁⊥l₃
B．如果l₁∥l₂，l₂∥l₃．则l₁、l₂、l₃共面
C．如果l₁⊥l₂，l₂⊥l₃．则l₁⊥l₃
D．如果l₁、l₂、l₃共点．则l₁、l₂、l₃共面

17. 难度：中等

函数f（x）=ax²+b|x|+c（a≠0），其定义域R分成了四个单调区间，则实数a，b，c满足（ ）
A．b²-4ac＞0且a＞0
B．
C．b²-4ac＞0
D．

18. 难度：中等

数列{a_n}满足a_n=，其中k∈N^*，设，则f（2013）-f（2012）等于（ ）
A．2²⁰¹²
B．2²⁰¹³
C．4²⁰¹²
D．4²⁰¹³

三、解答题

19. 难度：中等

在正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA的长为，PA与CD所成的角的大小等于．
（1）求正四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若正四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的表面上，求此球O的半径．

20. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x值；
（2）如果，求f（x）的取值范围．

21. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=4．
（1）直线l₁：与圆O相交于A、B两点，求|AB|；
（2）如图，设M（x₁，y₁）、P（x₂，y₂）是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M₁，点M关于x轴的对称点为M₂，如果直线PM₁、PM₂与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m•n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．

22. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和记为S_n，且满足S_n=2a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求和；
（3）设有m项的数列{b_n}是连续的正整数数列，并且满足：．
问数列{b_n}最多有几项？并求这些项的和．

23. 难度：中等

如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．
（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由．
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时f（x）=（x+m）²，求y=f（x）在[0，1]上的最大值．
（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当时，g（x）=|x|．若y=g（x）与y=mx交点个数为2013个，求m的值．