2012-2013学年江苏省泰州市泰兴三高高三（下）期初数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x-3＜0}，则集合（C_UA）∩B=    ．

2. 难度：中等

已知复数z=（a²-4）+3i，a∈R，则“a=2”是“z为纯虚数”的    条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）

3. 难度：中等

如图，是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为    ．

4. 难度：中等

已知，若，则正数m的值等于    ．

5. 难度：中等

如图所示的算法流程图中，若f（x）=2^x，g（x）=x²，则h（3）的值等于    ．

6. 难度：中等

已知正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为1cm，侧面积为3cm²，则该棱锥的体积为    cm³．

7. 难度：中等

投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m，n，设，则满足的概率为    ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象关于直线对称，且为函数f（x）的一个零点，则ω的最小值为    ．

9. 难度：中等

设圆x²+y²=4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|的最小值为    ．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，则该数列的前10项的和为    ．

11. 难度：中等

已知F是椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆x²+y²=b²相切于点Q，且，则椭圆C的离心率为    ．

12. 难度：中等

（文） 如图都是由边长为1的正方体叠成的图形．例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第n个图形的表面积是    个平方单位．

13. 难度：中等

如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD=2x，梯形面积为S．则S的最大值是    ．

14. 难度：中等

设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC的面积为1，且满足，设和的夹角为θ．
（ I）求θ的取值范围；
（ II）求函数的最大值及取得最大值时的θ值．

16. 难度：中等

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD为菱形，∠DAB=120°，E为线段CC₁的中点，F为线段BD₁的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）当的比值为多少时，DF⊥平面D₁EB，并说明理由．

17. 难度：中等

一化工厂因排污趋向严重，2011年1月决定着手整治．经调研，该厂第一个月的污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；

月数	1	2	3	4	…
污染度	60	31	13		…

污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x-4|（x≥1），g（x）=，h（x）=30|log₂x-2|（x≥1），其中x表示月数，f（x），g（x），h（x）分别表示污染度．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）
（Ⅰ）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
（Ⅱ）如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过60，若以比较合理的模拟函数预测，该厂最晚在何时开始进行再次整治？

18. 难度：中等

已知双曲线E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知f（x）=ax-1nx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，2是a_n+2 和a_n的等比中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m 的一切正整数n，不等式2S_n-4200＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？