2012-2013学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学高三（下）开学质量检测数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若集合A={y|y=x}，B={x|y=}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

命题“∀x∈R，有x²+1≥x”的否定是    ．

3. 难度：中等

若i是虚数单位，则i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³=    ．

4. 难度：中等

“＜1”是“lgx＞0成立”的    ．条件（填充分不必要、必要不充分，既不充分也不必要，充要）．

5. 难度：中等

已知流程图如图所示，为使输出的b值为16，则判断框内①处应填    ．

6. 难度：中等

已知直线ax-by-2=0与曲线y=x³在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为    ．

7. 难度：中等

已知cosα=，cos（α-β）=，且0＜α＜β＜，则β=    ．

8. 难度：中等

4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为    ．

9. 难度：中等

若A、B与 F₁、F₂分别为椭圆C：的两长轴端点与两焦点，椭圆C上的点P使得∠F₁PF₂=，则tan∠APB=    ．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}（n∈N^*）满足a₁=1且a_n=a_n-1cos，则其前2013项的和为    ．

11. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x-2）的图象关于（2，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s²-4s）≥-f（4t-t²），若-2≤s≤2时，则3t+s的最大值为    ．

12. 难度：中等

已知圆M：（x-1）²+（y-3）²=4，过x轴上的点P（a，0）存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=BA，则点P的横坐标a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知非零向量与满足（）•（2）=0，则的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知，点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若=-，b=，求a+c的值；
（2）求2sinA-sinC的取值范围．

16. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知底面ABC是边长为a的正三角形，侧棱AA₁=a，点D，E，F，O分别为边AB，A₁C，AA₁，BC的中点，A₁O⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：线段DE∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：FO⊥平面BB₁C₁C．

17. 难度：中等

某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入-生产成本-促销费用）
（1）求出x与t所满足的关系式；
（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；
（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？

18. 难度：中等

如图，椭圆C：过点M（1，），N（），梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，且AB＞CD）内接于椭圆，E是对角线AC与BD的交点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设AB=m，CD=n，OE=d，试求的最大值．

19. 难度：中等

已知函数，且f（1）=1，f（-2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；
（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

设数列{a_n}，对任意n∈N^*都有（kn+b）（a₁+a_n）+p=2（a₁+a₂…+a_n），（其中k、b、p是常数）．
（1）当k=0，b=3，p=-4时，求a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）当k=1，b=0，p=0时，若a₃=3，a₉=15，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S_n是数列{a_n}的前n项和，a₂-a₁=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a_n}，使得对任意n∈N^*，都有S_n≠0，且．若存在，求数列{a_n}的首项a₁的所有取值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，若用AA_n、B_n分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数．
（1）若，请你写出二阶矩阵M；
（2）求二阶矩阵M的逆矩阵．

22. 难度：中等

（附加题-选做题）（坐标系与参数方程）
已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．

23. 难度：中等

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁、BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．

24. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；
（2）当a∈（0，]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．