2013年广东省江门市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知（x+y-3）+（y-4）i=0，其中x，y∈R，i是虚数单位，则x=（ ）
A．1
B．-1
C．7
D．-7

2. 难度：中等

函数f（x）=lg（1-x）的定义域是（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，+∞）
C．（-∞，1）
D．（1，+∞）

3. 难度：中等

如图是根据某城市部分居民2012年月平均用水量（单位：吨）绘制的样本频率分布直方图，样本数据的分组为[1，2），[2，3），[3，4），…，[6，7]．已知样本中月均用水量低于4吨的户数为102，则样本中月均用水量不低于4吨的户数为（ ）

A．168
B．178
C．188
D．198

4. 难度：中等

以（1，0）为圆心，且与直线x-y+3=0相切的圆的方程是（ ）
A．（x-1）²+y²=8
B．（x+1）²+y²=8
C．（x-1）²+y²=16
D．（x+1）²+y²=16

5. 难度：中等

设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题：
①若m⊂α，α∥β，则m∥β
②若m、n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
③若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β
④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β
其中，正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

已知ABCD是边长为2的正方形，E、F分别是BC、CD的中点，则=（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3

7. 难度：中等

执行程序框图，如果输入n=5，那么输出的p=（ ）

A．24
B．120
C．720
D．1440

8. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-bx-1，其中a∈（0，2]，b∈（0，2]，在其取值范围内任取实数a、b，则函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

等轴双曲线Σ的中心在原点，焦点在x轴上，Σ与抛物线的准线交于P、Q两点，若|PQ|=4，则Σ的实轴长为（ ）
A．
B．3
C．2
D．

10. 难度：中等

设命题p：函数的图象向左平移单位得到的曲线关于y轴对称；命题q：函数y=|3^x-1|在[-1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ）
A．p为假
B．¬q为真
C．p∧q为假
D．p∨q为真

二、填空题

11. 难度：中等

某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

广告费用x（万元）	4	2	3	5
销售额y（万元）	49	26	39	54

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为    ．

12. 难度：中等

已知△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）²-c²=6且C=60°，则△ABC的面积S=    ．

13. 难度：中等

观察下列各式：5²-1=24，7²-1=48，11²-1=120，13²-1=168…，所得结果都是24的倍数．依此类推：∀n∈N^*，    是24的倍数．（本题填写一个适当的关于n的代数式即可）

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程是（φ为参数，0≤φ＜2π），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，CD为圆O的切线，AD⊥CD．若AB=5，AC=4，则AD=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinx•cosx+2cos²x-1，x∈R．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若点P（-3，4）在角α的终边上，求的值．

17. 难度：中等

甲、乙两药厂生产同一型号药品，在某次质量检测中，两厂各有5份样品送检，检测的平均得分相等（检测满分为100分，得分高低反映该样品综合质量的高低）．成绩统计用茎叶图表示如图：
（1）求a；
（2）某医院计划采购一批该型号药品，从质量的稳定性角度考虑，你认为采购哪个药厂的产品比较合适？
（3）检测单位从甲厂送检的样品中任取两份作进一步分析，在抽取的两份样品中，求至少有一份得分在（90，100]之间的概率．

18. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，△AED在平面ABC的投影恰好是△ABC．已知CD=BE，AB=4，．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C-ADE体积最大时，求三棱锥C-ADE的高．

19. 难度：中等

如图，椭圆Σ：（a＞b＞0）的离心率，椭圆的顶点A、B、C、D围成的菱形ABCD的面积S=4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆Σ相交于M、N两点，在椭圆是否存在点P、Q，使四边形PMQN为菱形？若存在，求PQ的长；若不存在，简要说明理由．

20. 难度：中等

广东某企业转型升级生产某款新产品，每天生产的固定成本为10000元，每生产1吨，成本增加240元．已知该产品日产量不超过600吨，销售量f（x）（单位：吨）与产量x（单位：吨）之间的关系为，每吨产品售价为400元．
（1）写出该企业日销售利润g（x）（单位：元）与产量x之间的关系式；
（2）求该企业日销售利润的最大值．

21. 难度：中等

（1）证明：对∀x＞0，lnx≤x-1；
（2）数列{a_n}，若存在常数M＞0，∀n∈N^*，都有a_n＜M，则称数列{a_n}有上界．已知，试判断数列{b_n}是否有上界．