2013年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数定义域为M，g（x）=lnx定义域为N，则M∩N=（ ）
A．{x|x≤1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|0≤x≤1}

2. 难度：中等

在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2-i（其中，i是虚数单位），如果点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数是（ ）
A．-2-i
B．-2+i
C．2+i
D．1-2i

3. 难度：中等

采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15

4. 难度：中等

如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（ ）

A．72
B．36
C．24
D．12

5. 难度：中等

在△ABC中，若，，，则AC=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若x＞0、y＞0，则x+y＞1是x²+y²＞1的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

7. 难度：中等

已知x、y满足x²+y²=4，则z=3x-4y+5的取值范围是（ ）
A．[-5，15]
B．[-10，10]
C．[-2，2]
D．[0，3]

8. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x-2x²，则f（x）在区间[0，2013]内零点的个数为（ ）
A．2013
B．2014
C．3020
D．3024

二、填空题

9. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项a₁=1，若∀n∈N^*，a_n•a_n+1=-2，则a_n=    ．

10. 难度：中等

执行程序框图，如果输入a=4，那么输出n=    ．

11. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内（含正方体表面）任取一点M，则的概率p=    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线的焦距为8，则m=    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系Oxy中，直线y=a（a＞0）与抛物线y=x²所围成的封闭图形的面积为，则a=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρsinθ=2与ρcosθ=-2的交点的极坐标为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，圆O内的两条弦AB、CD相交于P，PA=PB=4，PD=4PC．若O到AB的距离为4，则O到CD的距离为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数（A＞0，x∈R）的最小值为-2．
（1）求f（0）；
（2）若函数f（x）的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位长度，得到的曲线关于y轴对称，求ϕ的最小值．

17. 难度：中等

春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动．
（1））试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；
（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为m元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为6m元的奖金．假设顾客每次抽奖中获的概率都是，请问：商场将奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？

18. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，，过A作AE⊥CD，垂足为E．F、G分别是CE、AD的中点．现将△ADE沿AE折起，使二面角D-AE-C的平面角为135°．
（1）求证：平面DCE⊥平面ABCE；
（2）求直线FG与面DCE所成角的正弦值．

19. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点O，离心率，右焦点为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的上顶点为A，在椭圆C上是否存在点P，使得向量与共线？若存在，求直线AP的方程；若不存在，简要说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，∀n≥2，3S_n-4、2a_n、2-S_n-1总成等差数列．
（1）求S_n；
（2）对任意k∈N^*，将数列{a_n}的项落入区间（3^k，3^2k）内的个数记为b_k，求b_k．

21. 难度：中等

已知（x＞0，a是常数），若对曲线y=f（x）上任意一点P（x，y）处的切线y=g（x），f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．