2013年福建省宁德市高三质量检查数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则∁_UA=（ ）
A．{1，3，5}
B．{1，2，3}
C．{1，2，4，5}
D．{1，4}

2. 难度：中等

已知x，y∈R，则“x=y”是“|x|=|y|”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若角α∈（，π），则点P（sinα，cosα）位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

棱长均为2的几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）

A．4
B．4
C．2
D．

5. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若直线l₁：x+my+3=0与直线l₂：（m-1）x+2y+6m=0平行，则m=（ ）
A．
B．2
C．-1
D．2或-1

7. 难度：中等

已知a=（）^0.2，b=log₃5，c=log_0.53，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a

8. 难度：中等

函数f（x）=sin2x-cos2x的图象（ ）
A．关于直线x=对称
B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称
D．关于点（，0）对称

9. 难度：中等

下列函数f（x）中，满足“对任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0的是（ ）
A．f（x）=
B．f（x）=（x-1）²
C．f（x）=e^x
D．f（x）=ln（x+1）

10. 难度：中等

若不等式组所表示的平面区域被直线mx+y+2=0分为面积相等的两部分，则实数m的值为（ ）
A．-
B．-
C．1
D．2

11. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+a（x＞0）的图象恒在直线y=-2x的下方，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）
B．（-1，0）∪（0，+∞）
C．（-∞，0）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

12. 难度：中等

已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n]）图象上的任意一点，M、N为该图象的两个端点，点Q满足=λ，•i=0（其中0＜λ＜1，i为x轴上的单位向量），若||≤T（T为常数）在区间[m，n]上恒成立，则称y=f（x）在区间[m，n]上具有“T级线性逼近”．现有函数：①y=2x+1；②y=；③y=x²．则在区间[1，2]上具有“级 线性逼近”的函数的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

13. 难度：中等

若复数（1+bi）．i=1+i（i是虚数单位），则实数b=    ．

14. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X的值为2，则输出的结果是    ．

15. 难度：中等

若函数f（x）的导函数f′（x）=x²-2x-3，则函数f（x）的单调递减区间是    ．

16. 难度：中等

一种平面分形图的形成过程如图所示，第一层是同 一点出发的三条线段，长度均为1，每两条线段夹角为 120°；第二层是在第一层的每一条线段末端，再生成 两条与该线段成120°角的线段，长度不变；第三层按 第二层的方法再在第二层每一条线段的末端各生成两条 线段；重复前面的作法，直至第6层，则分形图第6层 各条线段末端之间的距离的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N⁺），数列{b_n}是公差为3的等差数列，且b₂=a₃．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n-b_n}的前n项和s_n．

18. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1为偶函数，且f（-1）=-1．
（I ）求函数f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=f（x）+（2-k）x在区间（-2，2）上单调递增，求实数k的取值范围．

19. 难度：中等

如图，已知平面AEMN丄平面ABCD，四边形AEMN为 正方形，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，BC=CD=2AB=2，E 为 CD 的中点．
（I ）求证：MC∥平面BDN；
（II）求多面体ABDN的体积．

20. 难度：中等

岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向 航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到 通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．
（I）问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？
（II）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．

21. 难度：中等

已知椭圆Γ：（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为，过点A的直线l与椭圆交于另一点M．
（I）求椭圆Γ的方程；
（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线 x-2y-2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知曲线f（x）=x³+bx²+cx在点我A（-1，f（-1）），B（3，f（3））处的切线互相平行，且函数f（x）的一个极值点为x=0．
（I）求实数b，c的值；
（II ）若函数y=f（x）（x∈[-，3]）的图象与直线y=m恰有三个交点，求实数m的取值范围；
（III）若存在x∈[1，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使得f′（x）+alnx≤ax成立（其中f′（x）为函数f（x）的导函数），求实数a的取值范围．