2013年河北省衡水中学高考数学六模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|-5≤2x-1≤3，x∈R}，B={x|x（x-8）≤0，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A．（0，2）
B．[0，2]
C．{0，2}
D．{0，1，2}

2. 难度：中等

如果复数是实数，则实数m=（ ）
A．-1
B．1
C．
D．

3. 难度：中等

焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为（ ）
A．60°
B．30°
C．150°
D．45°

5. 难度：中等

如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x²图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

在△ABC中，，，点P在AM上且满足，则•（+）等于（ ）
A．
B．
C．-
D．-

8. 难度：中等

函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（x∈R）的部分图象如图所示，如果，且f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）=（ ）
A．
B．
C．
D．1

9. 难度：中等

如图，正方体AC₁的棱长为1，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（ ）
A．点H是△A₁BD的垂心
B．AH垂直平面CB₁D₁
C．AH的延长线经过点C₁
D．直线AH和BB₁所成角为45°

10. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．（0，）
B．（）
C．（0，）
D．（，1）

11. 难度：中等

函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（ ）
A．[12，+∞]
B．[0，3]
C．[3，12]
D．[0，12]

12. 难度：中等

已知函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S_n，则S₁₀=（ ）
A．
B．2⁹-1
C．45
D．55

二、填空题

13. 难度：中等

直线y=kx+b与曲线y=x³+ax+1相切于点（2，3），则b的值为：    ．

14. 难度：中等

已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为    ．

15. 难度：中等

某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为    ．

16. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对应的三边，已知b²+c²=a²+bc
（1）求角A的大小；
（2）若，试判断△ABC的形状．

18. 难度：中等

现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表．

月收入（单位百元）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	8	12	5	2	1

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；

	月收入不低于55百元的人数	月收入低于55百元的人数	合计
赞成	a=	c=
不赞成	b=	d=
合计

（Ⅱ）若对在[15，25），[25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
参考公式：，其中n=a+b+c+d．
参考值表：

P（K^2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

19. 难度：中等

如图，几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B₁C₁D₁∥面ABCD，BB₁、CC₁、DD₁都垂直于面ABCD，且，E为CC₁的中点，F为AB的中点．
（Ⅰ）求证：△DB₁E为等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角B₁-DE-F的余弦值．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知点，向量，点B为直线上的动点，点C满足，点M满足．
（1）试求动点M的轨迹E的方程；
（2）设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）．
（1）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f₁（x），f₂（x），在公共定义域D上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x），
f₂（x）的“活动函数”．
已知函数．
若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活动函数”，
求a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．
（1）求证：AG•EF=CE•GD；
（2）求证：．

23. 难度：中等

（选做题在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ²-4ρcosθ+3=0．
（1）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；
（2）设曲线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若∀x∈R，恒成立，求实数t的取值范围．