《不等式》2013年高三数学一轮复习单元训练（北京师范大学大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a+b=1（a＞0，b＞0），则的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

2. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac²＞bc²
B．若ab＞0，a＞b，则
C．若a＞b，c＞d，则a-c＞b-d
D．若a＞b，c＜d，则

3. 难度：中等

实数a，b满足0＜a＜b＜1，则下列不等式正确的是（ ）
A．a^b＜b^a
B．a^-b＜b^-b
C．a^-a＜b^-b
D．b^b＜a^b

4. 难度：中等

若，则下列不等式：
①a+b＜ab
②|a|＞|b|
③a＜b
④中，
正确的不等式有（ ）
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④

5. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，a、b算术平均数是，且，，则m+n的最小值是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3

6. 难度：中等

设M=2a（a-2）+3，N=（a-1）（a-3），a∈R，则有（ ）
A．M＞N
B．M≥N
C．M＜N
D．M≤N

7. 难度：中等

若方程ax²+bx+c=0的两实根为x₁、x₂，集合S={x|x＞x₁}，T={x|x＞x₂}，P={x|x＜x_1}，Q={x|x＜x₂}，则不等式ax²+bx+c＞0（a＞0）的解集为（ ）
A．（S∪T）∩（P∪Q）
B．（S∩T）∩（P∩Q）
C．（S∪T）∪（P∪Q）
D．（S∩T）∪（P∩Q）

8. 难度：中等

函数y=的定义域为（ ）
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x≤0}
D．{x|0≤x≤1}

9. 难度：中等

当x＞1时，不等式x+恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，2]
B．[2，+∞）
C．[3，+∞）
D．（-∞，3]

10. 难度：中等

若不等式ax²+bx+2＞0的解集是{x|-＜x＜}，则a+b的值为（ ）
A．-10
B．-14
C．10
D．14

11. 难度：中等

已知函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（ ）
A．3
B．
C．4
D．8

12. 难度：中等

（文）不等式xy≤ax²+2y² 对任意x∈[1，2]及y∈[2，3]恒成立，则实数a的范围是（ ）
A．-1≤a≤-
B．a≥-3
C．a≥-1
D．-3≤a≤-1

二、填空题

13. 难度：中等

不等式的解集为    ．

14. 难度：中等

不等式组所表示的平面区域的面积等于     ．

15. 难度：中等

已知点A（m，n）在直线x+2y-2=0上，则2^m+4ⁿ的最小值为    ．

16. 难度：中等

已知x+2y=1，x∈R⁺，y∈R⁺，则x²y的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设命题P：关于x的不等式（a＞0且a≠1）的解集为{x|-a＜x＜2a}；命题Q：y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围．

18. 难度：中等

设a、b、c均为实数，求证：++≥++．

19. 难度：中等

若集合A={y|y²-（a²+a+1）y+a（a²+1）＞0}，B={y|y=x²-x+，0≤x≤3}
（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；
（2）当a取使不等式x²+1≥ax恒成立的最小值时，求（C_RA）∩B．

20. 难度：中等

围建一个面积为360m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：米）．
（1）将修建围墙的总费用y表示成x的函数；
（2）当x为何值时，修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．

21. 难度：中等

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

22. 难度：中等

已知a，b∈R，且a+b=1．求证：．