2012年黑龙江省哈尔滨三中高考数学四模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位=（ ）
A．1+i
B．-1+i
C．1-i
D．-1-i

2. 难度：中等

从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

函数f（x）=ln（x+1）-的零点所在的大致区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

4. 难度：中等

在△ABC中，A，B，C分别是△ABC的三个内角，下列选项中不是“A＞B”成立的充要条件的是（ ）
A．sinA＞sinB
B．cosA＜cosB
C．tanA＞tanB
D．sin²A＞sin²B

5. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为（ ）
A．4
B．11
C．12
D．14

6. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=-11，a₄+a₆=-6，则当S_n取最小值时，n等于（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

7. 难度：中等

△ABC的顶点在平面α内，A、C在α的同一侧，AB、BC与α所成的角分别是30°和45°．若AB=3，BC=，AC=5，则AC与α所成的角为（ ）
A．60°
B．45°
C．30°
D．15°

8. 难度：中等

已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k²成立，则f（k+1）≥（k+1）²成立，下列命题成立的是（ ）
A．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k²成立；
B．若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）＜k²成立；
C．若f（7）≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f（k）＜k²成立；
D．若f（4）=25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k²成立

9. 难度：中等

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，若双曲线上存在一点P，满足|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，3]
B．（1，3）
C．（3，+∞）
D．[3，+∞）

10. 难度：中等

某种商品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出y与x的线性回归方程为，则表中的m的值为（ ）

x	2	4	5	6	8
y	30	40	m	50	70

A．45
B．50
C．55
D．60

11. 难度：中等

若直线通过点M（cosα，sinα），则（ ）
A．a²+b²≤1
B．a²+b²≥1
C．
D．

12. 难度：中等

设函数f（x）的定义域是[-4，4]，其图象如图，那么不等式的解集为（ ）

A．[-2，1]
B．[-4，-2]∪[1，4]
C．[-4，-π）∪[-2，0）∪[1，π）
D．[-4，-π）∪（1，π）

二、填空题

13. 难度：中等

由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积为    ．

14. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积为   

15. 难度：中等

△ABC中，，△ABC的面积为1，则A=    ．

16. 难度：中等

如果一个正方形的四个点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为4的锐角△ABC的内接正方形面积的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，．
（I）设x=x是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x）的值；
（II）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

18. 难度：中等

设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x²+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程x²+bx+c=0有实根的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；

19. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，D是AC中点，且AB₁⊥BC₁
（Ⅰ）求侧棱AA₁的长；
（Ⅱ）求二面角D-BC₁-C的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）≥0对定义域内的任意的x恒成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知抛物线C₁的方程为y=x²，抛物线C₂的方程为y=2-x²，C₁和C₂交于A，B两点，D是曲线段AOB段上异于A，B的任意一点，直线AD交C₂于点E，G为△BDE的重心，过G作C₁的两条切线，切点分别为M，N，求线段MN的长度的取值范围．

22. 难度：中等

如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．
（Ⅰ）求证：点F是BD中点；
（Ⅱ）求证：CG是圆O的切线．

23. 难度：中等

直线l：（t为参数），曲线C：
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．