2013年吉林省长春市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-x-2＜0}，B={x|y=ln（1-|x|）}，则A∩（C_RB）=（ ）
A．（1，2）
B．[1，2）
C．（-1，1）
D．（1，2]

2. 难度：中等

已知复数z=1+ai（a∈R）（i是虚数单位），，则a=（ ）
A．2
B．-2
C．±2
D．

3. 难度：中等

下面程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A．c＞
B．x＞c
C．c＞b
D．b＞c

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．b＞c＞a

6. 难度：中等

在正项等比数列{a_n}中，已知a₁a₂a₃=4，a₄a₅a₆=12，a_n-1a_na_n+1=324，则n=（ ）
A．11
B．12
C．14
D．16

7. 难度：中等

直线l₁与l₂相交于点A，动点B、C分别在直线l₁与l₂上且异于点A，若与的夹角为60°，，则△ABC的外接圆的面积为（ ）
A．2π
B．4π
C．8π
D．12π

8. 难度：中等

给定命题p：函数和函数的图象关于原点对称；命题q：当（k∈Z）时，函数取得极小值．下列说法正确的是（ ）
A．p∨q是假命题
B．￢p∧q是假命题
C．p∧q是真命题
D．￢p∨q是真命题

9. 难度：中等

已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2]∪[4，+∞）
B．（-∞，-4]∪[2，+∞）
C．（-2，4）
D．（-4，2）

10. 难度：中等

已知直线x+y-k=0（k＞0）与圆x²+y²=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e₁，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e₂，则（ ）

A．随着角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂为定值
B．随着角度θ的增大，e₁减小，e₁e₂为定值
C．随着角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂也增大
D．随着角度θ的增大，e₁减小，e₁e₂也减小

12. 难度：中等

对于非空实数集A，记A^*={y|∀x∈A，y≥x}．设非空实数集合M、P满足：M⊆P，且若x＞1，则x∉P．现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有P^*⊆M^*；
②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M^*∩P≠∅；
③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M∩P^*=∅；
④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数a，使得对任意的b∈M^*，恒有a+b∈P^*，
其中正确的命题是（ ）
A．①③
B．③④
C．①④
D．②③

二、填空题

13. 难度：中等

若实数x，y满足，则的取值范围是    ．

14. 难度：中等

△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a²-c²=2b，且sinB=6cosA•sinC，则b的值为    ．

15. 难度：中等

若一个正四面体的表面积为S₁，其内切球的表面积为S₂，则=    ．

16. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，4]时，f（x）=x²-2^x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-＜φ＜）（x∈R）的部分图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[-π，-]时，求f（x）的取值范围．

18. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和是S_n，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，数列的前n项和为T_n，证明：．

19. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（x，y）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（|sinx|）的最小值；
（3）在（1）的条件下，若y=kx与y=f（x）的图象存在三个交点，求k的取值范围．

22. 难度：中等

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F，连接CE．
（1）求证：AG•EF=CE•GD；
（2）求证：．

23. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．

24. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）当a=-5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．