2013年湖南省十二校第二次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x∈Z|-1≤x≤1}，N={x∈Z|x（x-2）≤0}，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）

A．{0，1}
B．{-1，2}
C．{-1，0，1}
D．{-1，0，1，2}

2. 难度：中等

若a，b∈R，i是虚数单位，且对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A．x²-=1
B．x²-y²=15
C．-y²=1
D．-=1

4. 难度：中等

如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内设一飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）

A．80
B．
C．
D．118

6. 难度：中等

下列命题中正确的命题个数为（ ）
①存在一个实数x使不等式成立；
②已知a，b是实数，若ab=0，则a=0且b=0；
③是tanx=1的充要条件．
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n+S_m=S_n+m（m，n∈N^*）且a₁=6，那么a₁₀=（ ）
A．10
B．60
C．6
D．54

8. 难度：中等

若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（ ）
A．（-1，2）
B．（-4，2）
C．（-4，0]
D．（-2，4）

9. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足．若，则n（ ）
A．1
B．4
C．2
D．3

二、填空题

10. 难度：中等

已知向量=（sinθ，cosθ），=（2，1），且∥，则tan2θ=    ．

11. 难度：中等

设极点与坐标原点重合，极轴与x轴正半轴重合，已知直线l的极坐标方程是：=a，a∈R圆，C的参数方程是为参数），若圆C关于直线l对称，则a=    ．

12. 难度：中等

设函数f（x）=是奇函数，则g（3）=    ．

13. 难度：中等

执行如图所示程序框图，输出结果S=    ．

14. 难度：中等

设圆C：（x-3）²+（y-5）²=5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．

x	-1		2	4	5
y	1	2		2	1

（1）f（x）的极小值为    ；
（2）若函数y=f（x）-a有4个零点，则实数a的取值范围为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量=，==•+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍；再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的值域．

17. 难度：中等

M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．
（I）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值；
（II）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？

18. 难度：中等

如图所示，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=．
（1）证明：平面ACD⊥平面ADE，
（2）令AC=x，V（x） 表示三棱锥A-CBE的体积，当V（x） 取得最大值时，求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

19. 难度：中等

大学生自主创业已成为当代潮流．长江学院大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品，银行贷款的年利率为6%，约定一年    后一次还清贷款，已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15%，每月月底需要    交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全    部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出．
（1）设夏某第n个月月底余a_n元，第n+l个月月底余a_n+1元，写出a₁的值并建立a_n+1与a_n的递推关系；
（2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入．
（参考数据：1.12¹¹≈3.48，1.12¹²≈3.90，0.12¹¹≈7.43×10^-11，0.12¹²≈8.92×10^-12）

20. 难度：中等

设椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，离心率为，在x轴负半轴上有一点B，且．
（1）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知的图象在点（1，f（1）处的切线与直线y=3x+1平行．
（1）求a与b满足的关系式；
（2）若a＞0且f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．