2013年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知，则P∩Q=（ ）
A．
B．{0，1}
C．∅
D．{0}

2. 难度：中等

气象台预报“茂名市明天降雨的概率是80%”，下列理解正确的是（ ）
A．茂名市明天将有80%的地区降雨
B．茂名市明天将有80%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定要淋雨
D．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大

3. 难度：中等

计算：i（1+i）²=（ ）
A．-2
B．2
C．2i
D．-2i

4. 难度：中等

已知双曲线的右焦点F（3，0），则此双曲线的离心率为（ ）
A．6
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知向量=（x-1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（ ）
A．x=-
B．x=-1
C．x=5
D．x=0

6. 难度：中等

函数f（x）=的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设向量，定义一运算：⊗（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂）．已知，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值及最小正周期分别是（ ）
A．
B．
C．2，π
D．2，4π

二、填空题

11. 难度：中等

在区间[-1，2]上随即取一个数x，则x∈[0，1]的概率为     ．

12. 难度：中等

已知函数，则f[f（2013）]=    ．

13. 难度：中等

目标函数z=3x+y在约束条件下取得的最大值是    ．

14. 难度：中等

已知曲线C的参数方程为（θ为参数），则曲线上C的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为    ．

15. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过p点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，PC=    cm．

三、解答题

16. 难度：中等

如图所示，角A为钝角，且，点P，Q分别在角A的两边上．
（1）已知AP=5，AQ=2，求PQ的长；
（2）设∠APQ=α，∠AQP=β，且，求sin（2α+β）的值．

17. 难度：中等

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成
五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在90分以上（含90分）的学生为“优秀”，成绩小于90分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
（1）求“优秀”和“良好”学生的人数；
（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出10人，求“优秀”和“良好”的学生分别选出几人？
（3）若甲是在（2）选出的“优秀”学生中的一个，则从选出的“优秀”学生中再选2人参加某专项测试，求甲被选中的概
率是多少？

18. 难度：中等

如图，多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，，G为AD的中点．
（1）求证；AC⊥CE；
（2）在线段CE上找一点F，使得BF∥平面ACD，并给予证明；
（3）求三棱锥V_G-BCE的体积．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，而数列{b_n}的首项为1，b_n+1-b_n-2=0．
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知椭圆过点且它的离心率为．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）已知动直线l过点Q（4，0），交轨迹C₂于R、S两点．是否存在垂直于x轴的直线m被以RQ为直径的圆O₁所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；
（2）当a∈（0，+∞）时，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时，-4≤f（x）≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．