2013年四川省泸州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数+i³的值是（ ）
A．2+2i
B．-2-2i
C．i-2
D．2-i

2. 难度：中等

函数f（x）=与g（x）=2^-x+1在同一坐标系下的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

己知lgx=log₂100+25，则x的值是（ ）
A．2
B．
C．10
D．100

4. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x+e的导函数是（ ）
A．奇函数
B．既不是奇函数也不是偶函数
C．偶函数
D．既是奇函数又是偶函数

5. 难度：中等

若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，4），（0，2）内，那么下列命题中正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间（0，1）内没有零点
B．函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点
C．函数f（x）在区间（1，16）内有零点
D．函数f（x）在区间（2，16）内没有零点

6. 难度：中等

为了得到函数y=sin 2x的图象，可将函数y=sin（2x）的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

7. 难度：中等

下列命题，其中说法错误的是（ ）
A．命题“若x²-3x-4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x²-3x-4≠0”
B．“x=4”是“x²-3x-4=0．”的充分条件
C．命题“若m＞0，则方程x²+x-m=0有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若m²+n²=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m²+n²≠0，则m≠0或n≠0”

8. 难度：中等

△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（ ）
A．
B．
C．3
D．

9. 难度：中等

己知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）
A．（1，2010）
B．（2，2011）
C．（2，2013）
D．[2，2014]

10. 难度：中等

某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003⁶⁰⁰≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y=0.025
B．y=1.003^x
C．y=l+log₇
D．y=x²

11. 难度：中等

在△ABC中，AB=，则AC+BC的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

12. 难度：中等

定义在（-1，1）上的函数；当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，若，，则P，Q，R的大小关系为（ ）
A．R＞Q＞P
B．R＞P＞Q
C．P＞R＞Q
D．Q＞P＞R

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量=（x，3），且=（1，2），且∥，则向量的模长是    ．

14. 难度：中等

函数y=sin（2x+）的减区间是    ．

15. 难度：中等

函数在R上是减函数，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

设集合s为非空实数集，若数η（ξ）满足：
（1）对∀x∈S，有x≤η（x≥ξ），即η（ξ）是S的上界（下界）；
（2）对∀a＜η（a＞ξ），∃x_o∈S，使得x_o＞a（x_o＜a），即η（ξ）是S的最小（最大）上界（下界），则称数η（ξ）为数集S的上（下）确界，记作η=supS（ξ=infS）．
给出如下命题：
①若 S={x|x²＜2}，则 supS=-；
②若S={x|x=n|，x∈N}，则infS=l；
③若A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y，x∈A，y∈B}，则sup（A+B）=supA+supB．
其中正确的命题的序号为    （填上所有正确命题的序号）．

三、解答题

17. 难度：中等

老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇．
（Ⅰ）求抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
（Ⅱ）求他能及格的概率．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、c的对边分别为a、b、c，若bcosA-acosB=c．
（I）求证：tanB=3tanA；
（Ⅱ）若，求角A的值．

19. 难度：中等

已知命题p：夹角为m的单位向量a，b使|a-b|＞l，命题q：函数f（x）=msin（mx）的导函数为f′（x），若∃x_o∈R，．设符合p∧q为真的实数m的取值的集合为A．
（I）求集合A；
（Ⅱ）若B={x∈R|x²=πa}，且B∩A=∅，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B、P在单位圆上，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）令∠AOP=θ（0＜θ＜π），，四边形OAQP的面积为S，，求f（θ）的最大值及此时θ的值．

21. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）满足f（1-x）=f（x）且x∈[0，l]时，f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-l，l]上的解析式；
（II）当λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+mx，g（x）=nx²+n²，F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）在x=l处有极值为10，求曲线F（x）在（0，F（0））处的切线方程；
（Ⅲ）若n²＜3m，不等式对∀x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．