2013年四川省内江市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知是i虚数单位，复数的虚部是（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

2. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄=18-a₅，则S₈=（ ）
A．72
B．68
C．54
D．90

3. 难度：中等

已知a是函数的零点，若0＜x＜a，则f（x）的值满足（ ）
A．f（x）=0
B．f（x）＞0
C．f（x）＜0
D．f（x）的符号不确定

4. 难度：中等

已知函数y=f（x），x∈R，数列{a_n}的通项公式是a_n=f（n），n∈N，那么函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知=（ ）
A．-
B．
C．
D．

6. 难度：中等

某次测量中得到的A样本数据如下：84、86、86、88、88、88、90、90、90、90．若B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．中位数
B．平均数
C．标准差
D．众数

7. 难度：中等

已知O是坐标原点，点A（1，2），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是（ ）
A．-1
B．
C．0
D．1

8. 难度：中等

已知函数f（x）对任意的x∈R有f（x）+f（-x）=0，且当x＞0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

函数f（x）在R上可导，且f（x）=x²f′（2）-3x，则f（-1）与f（1）的大小关系是（ ）
A．f（-1）=f（1）
B．f（-1）＞f（1）
C．f（-1）＜f（1）
D．不确定

10. 难度：中等

定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的长度d=（2-1）+（5-3）=3．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d₁，d₂，d₃分别表示不等式f（x）＞g（x）、方程f（x）=g（x）、不等式f（x）＜g（x）解集的长度，则当0≤x≤2012时，有（ ）
A．d₁=2，d₂=0，d₃=2010
B．d₁=1，d₂=1，d₃=2010
C．d₁=2，d₂=1，d₃=2009
D．d₁=2，d₂=2，d₃=2008

二、填空题

11. 难度：中等

已知，且，则tanα=    ．

12. 难度：中等

如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为    ．

13. 难度：中等

已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是    ．

14. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且当x∈[-2，0]时，f（x）=（）^x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

设函数f（x）=|x|x+bx+c，则下列命题中正确命题的序号有    ．
（1）函数f（x）在R上有最小值；
（2）当b＞0时，函数f（x）在R上是单调增函数；
（3）函数f（x）的图象关于点（0，c）对称；
（4）方程f（x）=0可能有四个不同实数根．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若f（x）=cos2x+csin²（x+B），求函数f（x）的最小正周期和单增区间．

17. 难度：中等

某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系y=-x+120．
（1）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

18. 难度：中等

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对∀n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

19. 难度：中等

武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组
[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-3x+lnx（a＞0）
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）在区间上的最值；
（2）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围．

21. 难度：中等

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数有且仅有两个不动点0、2．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）若c=2时，相邻两项和不为零的数列{a_n}满足（S_n是数列{a_n}的前n项和），求证：．