2013年福建省宁德市高三质量检查数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={x|x²-2x≤0}，N={x|-1≤x≤2}，则（ ）
A．N⊊M
B．M∪N=N
C．M=N
D．M∩N=∅

2. 难度：中等

已知x，y∈R，则“x=y”是“|x|=|y|”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若终边经过点（，），则tanθ等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ）

A．4
B．2
C．2
D．4

5. 难度：中等

下列函数f（x）中，满足“∀x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0“的是（ ）
A．f（x）=2^x
B．f（x）=|x-1|
C．f（x）=-
D．f（x）=ln（x+1）

6. 难度：中等

曲线y²=x与直线y=x所围成的图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，直线m⊂平面a，直线n⊥平面β，给出命题：
①n⊥m⇒α∥β；
②n∥m⇒α⊥β；
③α∥β⇒n⊥m；
④α⊥β⇒n∥m．
其中正确命题为（ ）
A．①③
B．②③
C．②④
D．①④

8. 难度：中等

平面上动点P到定点F与定直线/的距离相等，且点F与直线l的距离为1．某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x²=2y-1，则他的建系方式是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在△ABC中，sin²A=sin²B+sin²C-sinBsinC，且=2，则AC+2AB的  最小值为（ ）
A．4
B．4
C．4
D．4

10. 难度：中等

若函数f（x）对于任意x∈[a，b]，恒有|f（x）-f（a）-（x-a）|≤T（T为常数）成立，则称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”．下列函数中：
①f（x）=2x+1；
②f（x）=x²；
③f（x）=；
④f（x）=x³．
则在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

若（1+ai）i=-3+i，其中a∈R，i是虚数单位，则a=    ．

12. 难度：中等

运行如图所示的程序，输入3，4时，则输出    ．

13. 难度：中等

若直线x-y+t=0与圆x²+y²-2x-6y-6=0相交所得的弦长为4，则t的值等于    ．

14. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

某种平面分形如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两 夹角为120°； 二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，则n级分形图中所有线段的长度之和为．    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1为偶函数，且f（-1）=-1．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=f（x）+（2-k）x在区间[-2，2]上单调递减，求实数k的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数，f（x）=cos（-2ωx）+2sin²ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（I ）求函数y=f（x）的最值及其单调递增区间；
（II ）函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

18. 难度：中等

已知椭圆E：（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=．
（I）若点F在直线l：x-y+1=0上，求椭圆E的方程；
（II）若0＜a＜1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

如图（1），在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形AB′C′E，
如图（2）．
（I）求证：EA⊥B′B；
（II）线段B′C′上是否存在点M，使得EM∥平面DB′B，若存在，确定点M的位 置；若不存在，请说明理由；
（III）求平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小．

20. 难度：中等

一学生参加市场营销调查活动，从某商场得到11月份新款家电M的部分销售资料．资 料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台（t为常数），期间某天由于商 家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天 共售出8台，11月5日的销售量为18台．
（I）若商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量．
（II）若11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数．

21. 难度：中等

已知函数f₁（x）=x²，f₂（x）=alnx（a∈R）•
（I）当a＞0时，求函数．f（x）=f₁（x）•f₂（x）的极值；
（II）若存在x∈[1，e]，使得f₁（x）+f₂（x）≤（a+1）x成立，求实数a的取值范围；
（III）求证：当x＞0时，lnx+-＞0．
（说明：e为自然对数的底数，e=2.71828…）