2013年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i为虚数单位，则复数等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²+1≥1”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x²+1＜1
B．∃x∈R，x²+1≤1
C．∃x∈R，x²+1＜1
D．∃x∈R，x²+1≥1

3. 难度：中等

已知=（1，2），=（0，1），=（k，-2），若（+2）⊥，则k=（ ）
A．2
B．-2
C．8
D．-8

4. 难度：中等

一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如下，则几何体的体积为（ ）

A．8
B．9
C．10
D．11

5. 难度：中等

为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（ ）
A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛

6. 难度：中等

已知实数x，y满足，则目标函数z=2x-y的最大值为（ ）
A．-3
B．
C．5
D．6

7. 难度：中等

已知集合M={x||x-4|+|x-1|＜5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N={2，b}，则a+b=（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

8. 难度：中等

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：
①f（x）在[m，n]内是单调的；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）=存在“和谐区间”，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（）
D．（1，3）

二、填空题

9. 难度：中等

已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log₂x，则f（f（））的值等于    ．

10. 难度：中等

已知抛物线x²=4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是    ．

11. 难度：中等

函数y=sinx+sin（x-） 的最小正周期为    ，最大值是    ．

12. 难度：中等

某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望Eξ的值为    ．

ξ		1	2	3
P		a	b

13. 难度：中等

观察下列不等式：
①＜1；②+；③；…则第5个不等式为    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，直线过点（1，0）且与直线（ρ∈R）垂直，则直线的极坐标方程为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲）如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F．若AD=3AE，则AF：FC=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2．记锐角∠ADB=α．且满足cos2α=-．
（1）求cosα；
（2）求BC边上高的值．

17. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设，求数列{c_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=DB，点C为圆O上一点，且BC=AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角C-PB-A的余弦值．

19. 难度：中等

某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产里x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额R（单位：元）与日产量x满足函数关系式，已知每日的利润L=S-C，且当x=2时，L=3
（I）求k的值；
（II）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．

20. 难度：中等

设椭圆的左右顶点分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|=|PC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点C的轨迹E的方程；
（3）设直线AC（C点不同于A，B）与直线x=2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

21. 难度：中等

设g（x）=e^x，f（x）=g[λx+（1-λ）a]-λg（x），其中a，λ是常数，且0＜λ＜1．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式成立；
（3）设，且λ₁+λ₂=1，证明：对任意正数a₁，a₂都有：．