2013年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

记函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=lg（x-1）的定义域为B，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

已知复数z满足（z+1）i=3+5i，其中i为虚数单位，则|z|=    ．

3. 难度：中等

某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则输入x的值为    ．

4. 难度：中等

如图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是    ．

5. 难度：中等

已知函数f （x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω=    ．

6. 难度：中等

在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是    ．

7. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，-1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为    ．

8. 难度：中等

已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．
①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β，
②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；
③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；    
④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．
上述命题中为真命题的是    （填写所有真命题的序号）．

9. 难度：中等

如图，在△ABC中，B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为    ．

10. 难度：中等

记定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x）．如果存在x∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f′（x）（b-a）成立，则称x为函数f（x）在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f（x）=x³-3x在区间[-2，2]上“中值点”的个数为    ．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点F是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．若=2，则双曲线的离心率为    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0，直线l经过点（1，0）．若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=-n+p，数列{b_n}的通项公式为b_n=2^n-5．设c_n=，若在数列{c_n}中，c₈＞c_n（n∈N^*，n≠8），则实数p的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设点P是曲线y=x²上的一个动点，曲线y=x²在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=x²的另一交点为Q，则PQ的最小值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知α，β∈（0，π），且tanα=2，cosβ=-．
（1）求cos2α的值；
（2）求2α-β的值．

16. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AC，D，E，F分别为线段AC，A₁A，C₁B的中点．
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）证明：C₁E⊥平面BDE．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=m（x-1）²-2x+3+lnx，m∈R．
（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）当m＞0时，若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值．

18. 难度：中等

将一张长8cm，宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S₁cm²，S₂cm²，其中S₁≤S₂．记折痕长为lcm．
（1）若l=4，求S₁的最大值；
（2）若S₁：S₂=1：2，求l的取值范围．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1．
（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；
（2）若m=6，
①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为（1，0），求PM的最小值及对应的点P的坐标；
②过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明： 是定值，并求出这个定值．

20. 难度：中等

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）若a₁=1，且对任意正整数n，k（n＞k），都有+=2成立，求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=（a＞0），求证：≤．

21. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点．
（1）若PA=2，求直线AE与PB所成角的余弦值；
（2）若平面ADE⊥平面PBC，求PA的长．

22. 难度：中等

如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p_n．
（1）求p₁，p₂的值；
（2）求证：＞．

23. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，线段OP交⊙O于点C．若PA=12，PC=6，求AB的长．

24. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=对应的变换将点A（1，1）变为A′（0，2），将曲线C：xy=1变为曲线C′．
（1）求实数a，b的值；
（2）求曲线C′的方程．

25. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-），点M的极坐标为（6，），直线l过点M，且与圆C相切，求l的极坐标方程．

26. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲解不等式x|x-4|-3＜0．