2013年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R|2x+1＜0}，B={（x+1）（x-2）＜0}，则A∩B=（ ）
A．（-∞，-1）
B．（-1，-）
C．（-）
D．（2，+∞）

2. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．（0，-1）
B．（0，1）
C．（，-）
D．（，）

3. 难度：中等

参数方程（为参数）与极坐标方程ρ=sinθ所表示的图形分别是（ ）
A．直线、直线
B．直线、圆
C．圆、圆
D．圆、直线

4. 难度：中等

已知向量=（2，1），=（-2，k）且⊥（2-），则实数k=（ ）
A．-14
B．-6
C．6
D．14

5. 难度：中等

如图，AB，AC分别与圆O相切于点B，C，ADE是⊙O的割线，连接CD，BD，BE，CE．则（ ）

A．AB²=AD•DE
B．CD•DE=AC•CE
C．BE•CD=BD•CE
D．AD•AE=BD•CD

6. 难度：中等

从0，1中选一个数字，从2，4，6中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．36
B．30
C．24
D．12

7. 难度：中等

设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：（x+1）²+（y+1）²=r²（r＞0）不经过区域D上的点，则r的取值范围是（ ）
A．[2，2]
B．（2，3]
C．（3，2]
D．（0，2）∪（2，+∞）

8. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＜f（π）．则下列结论正确的是（ ）
A．f（π）=-1
B．f（）
C．f（x）是奇函数
D．f（x）的单调递增区间是[kπ-，kπ+]（k∈Z）

二、填空题

9. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的C值为    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，若b=4，cosB=-，sinA=，则a=    ，c=    ．

11. 难度：中等

如图是根据50个城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5），[21.5，22.5），[22.5，23.5），[23.5，24.5），[25.5，26.5]，由图中数据可知a=    ；样本中平均气温不低于23.5℃的城市个数为    ．

12. 难度：中等

已知定义域为R的偶函数f（x）在（-∞，0]上是减函数，且f（）=2，则不等式f（2^x）＞2的解集为    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，设抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|=    ．

14. 难度：中等

函数B₁的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x²-2x（x∈R）是单函数；
②函数f（x）=是单函数；
③若y=f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
④函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题是    （写出所有真命题的编号）．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=cos（2ωx-）-cos（2ωx+）+1-2sin²ωx，（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π．
（I）求ω的值；
（II）求函数f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，且a₂=-1，a₅=8．
（I）求数列{|a_n|}的前n项和；
（II）求数列{2ⁿ•a_n}的前n项和．

17. 难度：中等

现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（I）求该射手恰好命中两次的概率；
（II）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX；
（III）求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率．

18. 难度：中等

设函数f（x）=-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b-1．
（I）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；
（II）当a=1-2b时，若函数f（x）+g（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（III）当a=1-2b=1时，求函数f（x）+g（x）在区间[t，t+3]上的最大值．

19. 难度：中等

已知椭圆C：+y²=1（a＞1）的上顶点为A，左焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²+6x-2y+7=0相切．过点（0，-）的直线与椭圆C交于P，Q两点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）当△APQ的面积达到最大时，求直线的方程．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（n，S_n）在函数y=2^x-1-2的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足：b₁=0，b_n+1+b_n=a_n，求数列{b_n}的前n项和公式；
（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N^*不等式b_n＜λb_n+1恒成立，求实数的取值范围．